Интегрирование простых дробей 3 типа. Интегрирование дробно-рациональной функции. Метод неопределенных коэффициентов. Метод искусственного преобразования числителя
Рассмотрены примеры интегрирования рациональных функций (дробей) с подробными решениями.
СодержаниеСм. также: Корни квадратного уравнения
Здесь мы приводим подробные решения трех примеров интегрирования следующих рациональных дробей:
,
,
.
Пример 1
Вычислить интеграл:
.
Здесь под знаком интеграла стоит рациональная функция, поскольку подынтегральное выражение является дробью из многочленов. Степень многочлена знаменателя (3 ) меньше степени многочлена числителя (4 ). Поэтому, вначале необходимо выделить целую часть дроби.
1.
Выделим целую часть дроби. Делим x 4
на x 3 - 6
x 2 + 11
x - 6
:
Отсюда
.
2.
Разложим знаменатель дроби на множители. Для этого нужно решить кубическое уравнение:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6
.
Подставим x = 1
:
.
1
.
Делим на x - 1
:
Отсюда
.
Решаем квадратное уравнение .
.
Корни уравнения: ,
.
Тогда
.
3.
Разложим дробь на простейшие.
.
Итак, мы нашли:
.
Интегрируем.
Пример 2
Вычислить интеграл:
.
Здесь в числителе дроби - многочлен нулевой степени (1 = x 0 ). В знаменателе - многочлен третьей степени. Поскольку 0 < 3 , то дробь правильная. Разложим ее на простейшие дроби.
1.
Разложим знаменатель дроби на множители. Для этого нужно решить уравнение третьей степени:
.
Предположим, что оно имеет хотя бы один целый корень. Тогда он является делителем числа 3
(члена без x
). То есть целый корень может быть одним из чисел:
1, 3, -1, -3
.
Подставим x = 1
:
.
Итак, мы нашли один корень x = 1
.
Делим x 3 + 2
x - 3
на x - 1
:
Итак,
.
Решаем квадратное уравнение:
x 2 +
x + 3 = 0
.
Находим дискриминант: D = 1 2 - 4·3 = -11
.
Поскольку D < 0
,
то уравнение не имеет действительных корней. Таким образом, мы получили разложение знаменателя на множители:
.
2.
.
(x - 1)(x 2 +
x + 3)
:
(2.1)
.
Подставим x = 1
.
Тогда x - 1 = 0
,
.
Подставим в (2.1)
x = 0
:
1 = 3
A - C
;
.
Приравняем в (2.1)
коэффициенты при x 2
:
;
0 =
A + B
;
.
.
3.
Интегрируем.
(2.2)
.
Для вычисления второго интеграла, выделим в числителе производную знаменателя и приведем знаменатель к сумме квадратов.
;
;
.
Вычисляем I 2
.
.
Поскольку уравнение x 2 +
x + 3 = 0
не имеет действительных корней, то x 2 +
x + 3 > 0
.
Поэтому знак модуля можно опустить.
Поставляем в (2.2)
:
.
Пример 3
Вычислить интеграл:
.
Здесь под знаком интеграла стоит дробь из многочленов. Поэтому подынтегральное выражение является рациональной функцией. Степень многочлена в числителе равна 3 . Степень многочлена знаменателя дроби равна 4 . Поскольку 3 < 4 , то дробь правильная. Поэтому ее можно раскладывать на простейшие дроби. Но для этого нужно разложить знаменатель на множители.
1.
Разложим знаменатель дроби на множители. Для этого нужно решить уравнение четвертой степени:
.
Предположим, что оно имеет хотя бы один целый корень. Тогда он является делителем числа 2
(члена без x
). То есть целый корень может быть одним из чисел:
1, 2, -1, -2
.
Подставим x = -1
:
.
Итак, мы нашли один корень x = -1
.
Делим на x - (-1)
= x + 1
:
Итак,
.
Теперь нужно решить уравнение третьей степени:
.
Если предположить, что это уравнение имеет целый корень, то он является делителем числа 2
(члена без x
). То есть целый корень может быть одним из чисел:
1, 2, -1, -2
.
Подставим x = -1
:
.
Итак, мы нашли еще один корень x = -1
.
Можно было бы, как и в предыдущем случае, разделить многочлен на ,
но мы сгруппируем члены:
.
Поскольку уравнение x 2 + 2 = 0
не имеет действительных корней, то мы получили разложение знаменателя на множители:
.
2.
Разложим дробь на простейшие. Ищем разложение в виде:
.
Освобождаемся от знаменателя дроби, умножаем на (x + 1) 2 (x 2 + 2)
:
(3.1)
.
Подставим x = -1
.
Тогда x + 1 = 0
,
.
Продифференцируем (3.1)
:
;
.
Подставим x = -1
и учтем, что x + 1 = 0
:
;
;
.
Подставим в (3.1)
x = 0
:
0 = 2
A + 2
B + D
;
.
Приравняем в (3.1)
коэффициенты при x 3
:
;
1 =
B + C
;
.
Итак, мы нашли разложение на простейшие дроби:
.
3.
Интегрируем.
.
Напомним, что дробно-рациональными называют функции вида $$ f(x) = \frac{P_n(x)}{Q_m(x)}, $$ в общем случае являющиеся отношением двух многочленов %%P_n(x)%% и %%Q_m(x)%%.
Если %%m > n \geq 0%%, то рациональную дробь называют правильной , в противном случае — неправильной. Используя правило деления многочленов , неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена %%P_{n - m}%% степени %%n - m%% и некоторой правильной дроби, т.е. $$ \frac{P_n(x)}{Q_m(x)} = P_{n-m}(x) + \frac{P_l(x)}{Q_n(x)}, $$ где степень %%l%% многочлена %%P_l(x)%% меньше степени %%n%% многочлена %%Q_n(x)%%.
Таким образом, неопределенный интеграл от рациональной функции можно представить суммой неопределенных интегралов от многочлена и от правильной рациональной дроби.
Интегралы от простейших рациональных дробей
Среди правильных рациональных дробей выделяют четыре типа, которые относят к простейшим рациональным дробям :
- %%\displaystyle \frac{A}{x - a}%%,
- %%\displaystyle \frac{A}{(x - a)^k}%%,
- %%\displaystyle \frac{Ax + B}{x^2 + px + q}%%,
- %%\displaystyle \frac{Ax + B}{(x^2 + px + q)^k}%%,
где %%k > 1%% — целое и %%p^2 - 4q < 0%%, т.е. квадратные уравнения не имеют действительных корней.
Вычисление неопределенных интегралов от дробей первых двух типов
Вычисление неопределенных интегралов от дробей первых двух типов не вызывает затруднений: $$ \begin{array}{ll} \int \frac{A}{x - a} \mathrm{d}x &= A\int \frac{\mathrm{d}(x - a)}{x - a} = A \ln |x - a| + C, \\ \\ \int \frac{A}{(x - a)^k} \mathrm{d}x &= A\int \frac{\mathrm{d}(x - a)}{(x - a)^k} = A \frac{(x-a)^{-k + 1}}{-k + 1} + C = \\ &= -\frac{A}{(k-1)(x-a)^{k-1}} + C. \end{array} $$
Вычисление неопределенного интегралов от дробей третьего типа
Дробь третьего типа сначала преобразуем, выделив полный квадрат в знаменателе: $$ \frac{Ax + B}{x^2 + px + q} = \frac{Ax + B}{(x + p/2)^2 + q - p^2/4}, $$ так как %%p^2 - 4q < 0%%, то %%q - p^2/4 > 0%%, которое обозначим как %%a^2%%. Заменив также %%t = x + p/2, \mathrm{d}t = \mathrm{d}x%%, преобразуем знаменатель и запишем интеграл от дроби третьего типа в форме $$ \begin{array}{ll} \int \frac{Ax + B}{x^2 + px + q} \mathrm{d}x &= \int \frac{Ax + B}{(x + p/2)^2 + q - p^2/4} \mathrm{d}x = \\ &= \int \frac{A(t - p/2) + B}{t^2 + a^2} \mathrm{d}t = \int \frac{At + (B - A p/2)}{t^2 + a^2} \mathrm{d}t. \end{array} $$
Последний интеграл, используя линейность неопределенного интеграла, представим в виде суммы двух и в первом из них введем %%t%% под знак дифференциала: $$ \begin{array}{ll} \int \frac{At + (B - A p/2)}{t^2 + a^2} \mathrm{d}t &= A\int \frac{t \mathrm{d}t}{t^2 + a^2} + \left(B - \frac{pA}{2}\right)\int \frac{\mathrm{d}t}{t^2 + a^2} = \\ &= \frac{A}{2} \int \frac{\mathrm{d}\left(t^2 + a^2\right)}{t^2 + a^2} + - \frac{2B - pA}{2}\int \frac{\mathrm{d}t}{t^2 + a^2} = \\ &= \frac{A}{2} \ln \left| t^2 + a^2\right| + \frac{2B - pA}{2a} \text{arctg}\frac{t}{a} + C. \end{array} $$
Возвращаясь к исходной переменной %%x%%, в итоге для дроби третьего типа получаем $$ \int \frac{Ax + B}{x^2 + px + q} \mathrm{d}x = \frac{A}{2} \ln \left| x^2 + px + q\right| + \frac{2B - pA}{2a} \text{arctg}\frac{x + p/2}{a} + C, $$ где %%a^2 = q - p^2 / 4 > 0%%.
Вычисление интеграла 4 типа сложно, поэтому в этом курсе не рассматривается.
Интегрирование дробно-рациональной функции.
Метод неопределенных коэффициентов
Продолжаем заниматься интегрированием дробей. Интегралы от некоторых видов дробей мы уже рассмотрели на уроке , и этот урок в некотором смысле можно считать продолжением. Для успешного понимания материала необходимы базовые навыки интегрирования, поэтому если Вы только приступили к изучению интегралов, то есть, являетесь чайником, то необходимо начать со статьи Неопределенный интеграл. Примеры решений .
Как ни странно, сейчас мы будем заниматься не столько нахождением интегралов, сколько… решением систем линейных уравнений. В этой связи настоятельно рекомендую посетить урок А именно – нужно хорошо ориентироваться в методах подстановки («школьном» методе и методе почленного сложения (вычитания) уравнений системы).
Что такое дробно-рациональная функция? Простыми словами, дробно-рациональная функция – это дробь, в числителе и знаменателе которой находятся многочлены либо произведения многочленов. При этом дроби являются более навороченными, нежели те, о которых шла речь в статье Интегрирование некоторых дробей .
Интегрирование правильной дробно-рациональной функции
Сразу пример и типовой алгоритм решения интеграла от дробно-рациональной функции.
Пример 1
Шаг 1. Первое, что мы ВСЕГДА делаем при решении интеграла от дробно-рациональной функции – это выясняем следующий вопрос: является ли дробь правильной? Данный шаг выполняется устно, и сейчас я объясню как:
Сначала смотрим на числитель и выясняем старшую степень
многочлена:
Старшая степень числителя равна двум.
Теперь смотрим на знаменатель и выясняем старшую степень
знаменателя. Напрашивающийся путь – это раскрыть скобки и привести подобные слагаемые, но можно поступить проще, в каждой
скобке находим старшую степень
и мысленно умножаем: – таким образом, старшая степень знаменателя равна трём. Совершенно очевидно, что если реально раскрыть скобки, то мы не получим степени, больше трёх.
Вывод : Старшая степень числителя СТРОГО меньше старшей степени знаменателя, значит, дробь является правильной.
Если бы в данном примере в числителе находился многочлен 3, 4, 5 и т.д. степени, то дробь была бы неправильной .
Сейчас мы будем рассматривать только правильные дробно-рациональные функции . Случай, когда степень числителя больше либо равна степени знаменателя, разберём в конце урока.
Шаг 2.
Разложим знаменатель на множители. Смотрим на наш знаменатель:
Вообще говоря, здесь уже произведение множителей, но, тем не менее, задаемся вопросом: нельзя ли что-нибудь разложить еще? Объектом пыток, несомненно, выступит квадратный трехчлен. Решаем квадратное уравнение:
Дискриминант больше нуля, значит, трехчлен действительно раскладывается на множители:
Общее правило: ВСЁ, что в знаменателе МОЖНО разложить на множители – раскладываем на множители
Начинаем оформлять решение:
Шаг 3. Методом неопределенных коэффициентов раскладываем подынтегральную функцию в сумму простых (элементарных) дробей. Сейчас будет понятнее.
Смотрим на нашу подынтегральную функцию:
И, знаете, как-то проскакивает интуитивная мысль, что неплохо бы нашу большую дробь превратить в несколько маленьких. Например, вот так:
Возникает вопрос, а можно ли вообще так сделать? Вздохнем с облегчением, соответствующая теорема математического анализа утверждает – МОЖНО. Такое разложение существует и единственно .
Только есть одна загвоздочка, коэффициенты мы пока не знаем, отсюда и название – метод неопределенных коэффициентов.
Как вы догадались, последующие телодвижения так, не гоготать! будут направлены на то, чтобы как раз их УЗНАТЬ – выяснить, чему же равны .
Будьте внимательны, подробно объясняю один раз!
Итак, начинаем плясать от:
В левой части приводим выражение к общему знаменателю:
Теперь благополучно избавляемся от знаменателей (т.к. они одинаковы):
В левой части раскрываем скобки, неизвестные коэффициенты при этом пока не трогаем:
Заодно повторяем школьное правило умножения многочленов. В свою бытность учителем, я научился выговаривать это правило с каменным лицом: Для того чтобы умножить многочлен на многочлен нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена .
С точки зрения понятного объяснения коэффициенты лучше внести в скобки (хотя лично я никогда этого не делаю в целях экономии времени):
Составляем систему линейных уравнений.
Сначала разыскиваем старшие степени:
И записываем соответствующие коэффициенты в первое уравнение системы:
Хорошо запомните следующий нюанс . Что было бы, если б в правой части вообще не было ? Скажем, красовалось бы просто без всякого квадрата? В этом случае в уравнении системы нужно было бы поставить справа ноль: . Почему ноль? А потому что в правой части всегда можно приписать этот самый квадрат с нулём: Если в правой части отсутствуют какие-нибудь переменные или (и) свободный член, то в правых частях соответствующих уравнений системы ставим нули .
Записываем соответствующие коэффициенты во второе уравнение системы:
И, наконец, минералка, подбираем свободные члены.
Эх,…что-то я расшутился. Шутки прочь – математика наука серьезная. У нас в институтской группе никто не смеялся, когда доцент сказала, что разбросает члены по числовой прямой и выберет из них самые большие. Настраиваемся на серьезный лад. Хотя… кто доживет до конца этого урока, все равно будет тихо улыбаться.
Система готова:
Решаем систему:
(1) Из первого уравнения выражаем и подставляем его во 2-е и 3-е уравнения системы. На самом деле можно было выразить (или другую букву) из другого уравнения, но в данном случае выгодно выразить именно из 1-го уравнения, поскольку там самые маленькие коэффициенты .
(2) Приводим подобные слагаемые во 2-м и 3-м уравнениях.
(3) Почленно складываем 2-е и 3-е уравнение, при этом, получая равенство , из которого следует, что
(4) Подставляем во второе (или третье) уравнение, откуда находим, что
(5) Подставляем и в первое уравнение, получая .
Если возникли трудности с методами решения системы отработайте их на уроке Как решить систему линейных уравнений?
После решения системы всегда полезно сделать проверку – подставить найденные значения в каждое уравнение системы, в результате всё должно «сойтись».
Почти приехали. Коэффициенты найдены, при этом:
Чистовое оформление задание должно выглядеть примерно так:
Как видите, основная трудность задания состояла в том, чтобы составить (правильно!) и решить (правильно!) систему линейных уравнений. А на завершающем этапе всё не так сложно: используем свойства линейности неопределенного интеграла и интегрируем. Обращаю внимание, что под каждым из трёх интегралов у нас «халявная» сложная функция, об особенностях ее интегрирования я рассказал на уроке Метод замены переменной в неопределенном интеграле .
Проверка: Дифференцируем ответ:
Получена исходная подынтегральная функция, значит, интеграл найден правильно.
В ходе проверки пришлось приводить выражение к общему знаменателю, и это не случайно. Метод неопределенных коэффициентов и приведение выражения к общему знаменателю – это взаимно обратные действия
.
Пример 2
Найти неопределенный интеграл.
Вернемся к дроби из первого примера: . Нетрудно заметить, что в знаменателе все множители РАЗНЫЕ. Возникает вопрос, а что делать, если дана, например, такая дробь: ? Здесь в знаменателе у нас степени, или, по-математически кратные множители . Кроме того, есть неразложимый на множители квадратный трехчлен (легко убедиться, что дискриминант уравнения отрицателен, поэтому на множители трехчлен никак не разложить). Что делать? Разложение в сумму элементарных дробей будет выглядеть наподобие с неизвестными коэффициентами вверху или как-то по-другому?
Пример 3
Представить функцию
Шаг 1.
Проверяем, правильная ли у нас дробь
Старшая степень числителя: 2
Старшая степень знаменателя: 8
, значит, дробь является правильной.
Шаг 2. Можно ли что-нибудь разложить в знаменателе на множители? Очевидно, что нет, всё уже разложено. Квадратный трехчлен не раскладывается в произведение по указанным выше причинам. Гуд. Работы меньше.
Шаг 3.
Представим дробно-рациональную функцию в виде суммы элементарных дробей.
В данном случае, разложение имеет следующий вид:
Смотрим на наш знаменатель:
При разложении дробно-рациональной функции в сумму элементарных дробей можно выделить три принципиальных момента:
1) Если в знаменателе находится «одинокий» множитель в первой степени (в нашем случае ), то вверху ставим неопределенный коэффициент (в нашем случае ). Примеры №1,2 состояли только из таких «одиноких» множителей.
2) Если в знаменателе есть кратный
множитель , то раскладывать нужно так:
– то есть последовательно перебрать все степени «икса» от первой до энной степени. В нашем примере два кратных множителя: и , еще раз взгляните на приведенное мной разложение и убедитесь, что они разложены именно по этому правилу.
3) Если в знаменателе находится неразложимый многочлен второй степени (в нашем случае ), то при разложении в числителе нужно записать линейную функцию с неопределенными коэффициентами (в нашем случае с неопределенными коэффициентами и ).
На самом деле, есть еще 4-й случай, но о нём я умолчу, поскольку на практике он встречается крайне редко.
Пример 4
Представить функцию в виде суммы элементарных дробей с неизвестными коэффициентами.
Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.
Строго следуйте алгоритму!
Если Вы разобрались, по каким принципам нужно раскладывать дробно-рациональную функцию в сумму, то сможете разгрызть практически любой интеграл рассматриваемого типа.
Пример 5
Найти неопределенный интеграл.
Шаг 1. Очевидно, что дробь является правильной:
Шаг 2. Можно ли что-нибудь разложить в знаменателе на множители? Можно. Здесь сумма кубов . Раскладываем знаменатель на множители, используя формулу сокращенного умножения
Шаг 3. Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:
Обратите внимание, что многочлен неразложим на множители (проверьте, что дискриминант отрицательный), поэтому вверху мы ставим линейную функцию с неизвестными коэффициентами, а не просто одну буковку.
Приводим дробь к общему знаменателю:
Составим и решим систему:
(1) Из первого уравнения выражаем и подставляем во второе уравнение системы (это наиболее рациональный способ).
(2) Приводим подобные слагаемые во втором уравнении.
(3) Почленно складываем второе и третье уравнения системы.
Все дальнейшие расчеты, в принципе, устные, так как система несложная.
(1) Записываем сумму дробей в соответствии с найденными коэффициентами .
(2) Используем свойства линейности неопределенного интеграла. Что произошло во втором интеграле? С этим методом Вы можете ознакомиться в последнем параграфе урока Интегрирование некоторых дробей .
(3) Еще раз используем свойства линейности. В третьем интеграле начинаем выделять полный квадрат (предпоследний параграф урока Интегрирование некоторых дробей ).
(4) Берём второй интеграл, в третьем – выделяем полный квадрат.
(5) Берём третий интеграл. Готово.
«Математик так же, как художник или поэт, создает узоры. И если его узоры более устойчивы, то лишь потому, что они составлены из идей... Узоры математика так же, как узоры художника или поэта, должны быть прекрасны; идеи так же, как цвета или слова, должны соответствовать друг другу. Красота есть первое требование: в мире нет места для некрасивой математики ».
Г.Х.Харди
В первой главе отмечалось, что существуют первообразные довольно простых функций, которые уже нельзя выразить через элементарные функции. В связи с этим, огромное практическое значение приобретают те классы функций, о которых можно точно сказать, что их первообразные – элементарные функции. К такому классу функций относятся рациональные функции , представляющие собой отношение двух алгебраических многочленов. К интегрированию рациональных дробей приводят многие задачи. Поэтому очень важно уметь интегрировать такие функции.
2.1.1. Дробно-рациональные функции
Рациональной дробью (или дробно-рациональной функцией )называется отношение двух алгебраических многочленов:
где и – многочлены.
Напомним, что многочленом (полиномом , целой рациональной функцией ) n -й степени называется функция вида
где – действительные числа. Например,
– многочлен первой степени;
– многочлен четвертой степени и т.д.
Рациональная дробь (2.1.1) называется правильной , если степень ниже степени , т.е. n <m , в противном случае дробь называется неправильной .
Любую неправильную дробь можно представить в виде суммы многочлена (целой части) и правильной дроби (дробной части). Выделение целой и дробной частей неправильной дроби можно производить по правилу деления многочленов «уголком».
Пример 2.1.1. Выделить целую и дробную части следующих неправильных рациональных дробей:
а) , б) .
Решение . а) Используя алгоритм деления «уголком», получаем
Таким образом, получаем
.
б) Здесь также используем алгоритм деления «уголком»:
В результате, получаем
.
Подведём итоги. Неопределённый интеграл от рациональной дроби в общем случае можно представить суммой интегралов от многочлена и от правильной рациональной дроби. Нахождение первообразных от многочленов не представляет трудностей. Поэтому в дальнейшем будем рассматривать в основном правильные рациональные дроби.
2.1.2. Простейшие рациональные дроби и их интегрирование
Среди правильных рациональных дробей выделяют четыре типа, которые относят кпростейшим (элементарным) рациональным дробям:
3) , |
4) , |
где – целое число, , т.е. квадратный трёхчлен не имеет действительных корней.
Интегрирование простейших дробей 1-го и 2-го типа не представляет больших трудностей:
, (2.1.3)
. (2.1.4)
Рассмотрим теперь интегрирование простейших дробей 3-го типа, а дроби 4-го типа рассматривать не будем.
Начнём с интегралов вида
.
Данный интеграл обычно вычисляют путем выделения полного квадрата в знаменателе. В результате получается табличный интеграл следующего вида
или .
Пример 2.1.2. Найти интегралы:
а) , б) .
Решение . а) Выделим из квадратного трёхчлена полный квадрат:
Отсюда находим
б) Выделив из квадратного трёхчлена полный квадрат, получаем:
Таким образом,
.
Для нахождения интеграла
можно выделить в числителе производную знаменателя и разложить интеграл на сумму двух интегралов: первый из них подстановкой сводится к виду
,
а второй – к рассмотренному выше.
Пример 2.1.3. Найти интегралы:
.
Решение . Заметим, что . Выделим в числителе производную знаменателя:
Первый интеграл вычисляется при помощи подстановки :
Во втором интеграле выделим полный квадрат в знаменателе
Окончательно, получаем
2.1.3. Разложение правильной рациональный
дроби
на сумму простейших дробей
Любую правильную рациональную дробь можно представить единственным образом в виде суммы простейших дробей. Для этого знаменатель нужно разложить на множители. Из высшей алгебры известно, что каждый многочлен с действительными коэффициентами
Приводится вывод формул для вычисления интегралов от простейших, элементарных, дробей четырех типов. Более сложные интегралы, от дробей четвертого типа, вычисляются с помощью формулы приведения. Рассмотрен пример интегрирования дроби четвертого типа.
СодержаниеСм. также:
Таблица неопределенных интегралов
Методы вычисления неопределенных интегралов
Как известно, любую рациональную функцию от некоторой переменной x
можно разложить на многочлен и простейшие, элементарные, дроби. Имеется четыре типа простейших дробей:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
Здесь a, A, B, b, c
- действительные числа. Уравнение x 2
+ bx + c = 0
не имеет действительных корней.
Интегрирование дробей первых двух типов
Интегрирование первых двух дробей выполняется с помощью следующих формул из таблицы интегралов :
,
,
n ≠ - 1
.
1. Интегрирование дроби первого типа
Дробь первого типа подстановкой t = x - a
приводится к табличному интегралу:
.
2. Интегрирование дроби второго типа
Дробь второго типа приводится к табличному интегралу той же подстановкой t = x - a
:
.
3. Интегрирование дроби третьего типа
Рассмотрим интеграл от дроби третьего типа:
.
Будем вычислять его в два приема.
3.1. Шаг 1. Выделим в числителе производную знаменателя
Выделим в числителе дроби производную от знаменателя. Обозначим: u = x 2
+ bx + c
.
Дифференцируем: u′ = 2
x + b
.
Тогда
;
.
Но
.
Мы опустили знак модуля, поскольку .
Тогда:
,
где
.
3.2. Шаг 2. Вычисляем интеграл с A = 0, B=1
Теперь вычисляем оставшийся интеграл:
.
Приводим знаменатель дроби к сумме квадратов:
,
где .
Мы считаем, что уравнение x 2
+ bx + c = 0
не имеет корней. Поэтому .
Сделаем подстановку
,
.
.
Итак,
.
Тем самым мы нашли интеграл от дроби третьего типа:
,
где .
4. Интегрирование дроби четвертого типа
И наконец, рассмотрим интеграл от дроби четвертого типа:
.
Вычисляем его в три приема.
4.1) Выделяем в числителе производную знаменателя:
.
4.2) Вычисляем интеграл
.
4.3) Вычисляем интегралы
,
используя формулу приведения:
.
4.1. Шаг 1. Выделение в числителе производной знаменателя
Выделим в числителе производную знаменателя, как мы это делали в . Обозначим u = x 2
+ bx + c
.
Дифференцируем: u′ = 2
x + b
.
Тогда
.
.
Но
.
Окончательно имеем:
.
4.2. Шаг 2. Вычисление интеграла с n = 1
Вычисляем интеграл
.
Его вычисление изложено в .
4.3. Шаг 3. Вывод формулы приведения
Теперь рассмотрим интеграл
.
Приводим квадратный трехчлен к сумме квадратов:
.
Здесь .
Делаем подстановку.
.
.
Выполняем преобразования и интегрируем по частям.
.
Умножим на 2(n - 1)
:
.
Возвращаемся к x
и I n
.
,
;
;
.
Итак, для I n
мы получили формулу приведения:
.
Последовательно применяя эту формулу, мы сведем интеграл I n
к I 1
.
Пример
Вычислить интеграл
1.
Выделим в числителе производную знаменателя.
;
;
.
Здесь
.
2.
Вычисляем интеграл от самой простой дроби.
.
3.
Применяем формулу приведения:
для интеграла .
В нашем случае b = 1
,
c = 1
,
4
c - b 2 = 3
.
Выписываем эту формулу для n = 2
и n = 3
:
;
.
Отсюда
.
Окончательно имеем:
.
Находим коэффициент при .
.