Каноническое и параметрическое уравнения прямой. Канонические уравнения прямой Как найти каноническое уравнение прямой
3.1. Канонические уравнения прямой.
Пусть в системе координат Oxyz дана прямая, которая проходит через точку
(см. рис.18).Обозначим через
вектор, параллельный данной прямой.
Векторназываетсянаправляющим
вектором прямой.
Возьмем на прямой точку
и рассмотрим вектор
Векторы
коллинеарны, следовательно, их
соответствующие координаты пропорциональны:
(3.3.1 )
Эти уравнения называются каноническими уравнениями прямой.
Пример:
Написать
уравнения прямой, проходящей через
точку M(1,
2, –1) параллельно вектору
Решение: Вектор является направляющим вектором искомой прямой. Применяя формулы (3.1.1), получим:
Это канонические уравнения прямой.
Замечание: Обращение в нуль одного из знаменателей означает обращение в нуль соответствующего числителя, то есть y – 2 = 0; y = 2. Данная прямая лежит в плоскости y = 2, параллельной плоскости Oxz.
3.2. Параметрические уравнения прямой.
Пусть прямая задана каноническими уравнениями
Обозначим
тогда
Величина t
называется параметром и может принимать
любые значения:
.
Выразим x, y и z через t:
(3.2.1 )
Полученные уравнения называются параметрическими уравнениями прямой.
Пример 1:
Составить
параметрические уравнения прямой,
проходящей через точку M
(1, 2, –1) параллельно вектору
Решение: Канонические уравнения этой прямой получены в примере пункта 3.1:
Для нахождения параметрических уравнений прямой применим вывод формул (3.2.1):
Итак,
- параметрические уравнения данной
прямой.
Ответ
:
Пример 2.
Составить
параметрические уравнения прямой,
проходящей через точку M
(–1, 0, 1) параллельно вектору
гдеA
(2, 1, –1), B
(–1, 3, 2).
Решение:
Вектор
является направляющим
вектором искомой прямой.
Найдем вектор
.
= (–3; 2; 3). По формулам (3.2.1) запишем уравнения прямой:
- это искомые параметрические уравнения прямой.
3.3. Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки.
Через две заданные
точки в пространстве проходит единственная
прямая (см. рис.20). Пусть даны точки
Вектор
можно принять за направляющий вектор
данной прямой. Тогда уравнения прямой
находим
по формулам (3.1.1):
).
(3.3.1)
Пример 1. Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точки
Решение : Применяем формулу (3.3.1)
Получили канонические уравнения прямой. Для получения параметрических уравнений применим вывод формул (3.2.1). Получим
- это параметрические уравнения прямой.
Пример 2. Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точки
Решение : По формулам (3.3.1) получим:
Это канонические уравнения.
Переходим к параметрическим уравнениям:
- параметрические уравнения.
Полученная прямая параллельна оси oz (см. рис.21).
Пусть в пространстве даны две плоскости
Если эти плоскости не совпадают и не параллельны, то они пересекаются по прямой:
Эта система двух
линейных уравнений задает прямую как
линию пересечения двух плоскостей. От
уравнений (3.4.1) можно перейти к каноническим
уравнениям (3.1.1) или параметрическим
уравнениям (3.2.1). Для этого необходимо
найти точку
лежащую на прямой, и направляющий векторКоординаты точки
получим из системы (3.4.1), придав одной
из координат произвольное значение
(например,z
= 0). За направляющий вектор
можно взять векторное произведение
векторовто есть
Пример 1.
Составить
канонические уравнения прямой
Решение:
Пусть
z
= 0. Решим систему
Сложив эти уравнения,
получим: 3x
+ 6 = 0
x
= –2. Подставим найденное значение x
= –2 в первое уравнение системы и получим:
–2 + y
+ 1 = 0
y
= 1.
Итак, точка
лежит на искомой прямой.
Для нахождения направляющего вектора прямой запишем нормальные векторы плоскостей: и найдем их векторное произведение:
Уравнения прямой находим по формулам (3.1.1):
Ответ:
.
Другой способ: Канонические и параметрические уравнения прямой (3.4.1) легко получить, найдя две различные точки на прямой из системы (3.4.1), а затем применив формулы (3.3.1) и вывод формул (3.2.1).
Пример 2. Составить канонические и параметрические уравнения прямой
Решение:
Пусть y
= 0. Тогда система примет вид:
Сложив уравнения,
получим: 2x
+ 4 = 0; x
= –2. Подставим x
= –2 во второе уравнение системы и
получим: –2 –z
+1 = 0
z
= –1. Итак, нашли точку
Для нахождения
второй точки положим x
= 0. Будем иметь:
То есть
Получили канонические уравнения прямой.
Составим параметрические уравнения прямой:
Ответ
:
;
.
3.5. Взаимное расположение двух прямых в пространстве.
Пусть прямые
заданы уравнениями:
:
;
:
.
Под углом между
этими прямыми понимают угол между их
направляющими векторами
(см. рис.22). Этот уголнаходим по формуле из векторной алгебры:
или
(3.5.1)
Если прямые
перпендикулярны
(
),то
Следовательно,
Это условие перпендикулярности двух прямых в пространстве.
Если прямые
параллельны (
),то их направляющие
векторы коллинеарны (
),
то есть
(3.5.3 )
Это условие параллельности двух прямых в пространстве.
Пример 1. Найти угол между прямыми:
а).
и
б).
и
Решение:
а). Запишем направляющий вектор прямой
Найдем направляющий вектор
плоскостей, входящих в систему
Затем найдем их векторное произведение:
(см. пример 1 пункта 3.4).
По формуле (3.5.1)
получим:
Следовательно,
б). Запишем
направляющие векторы данных прямых:
Векторы
коллинеарны, так как их соответствующие
координаты пропорциональны:
Значит прямые
параллельны (
),
то есть
Ответ:
а).
б).
Пример 2. Доказать перпендикулярность прямых:
и
Решение:
Запишем направляющий вектор первой
прямой
Найдем направляющий
вектор
второй прямой. Для этого находим
нормальные векторы
плоскостей, входящих в систему:
Вычислим их векторное произведение:
(См. пример 1пункта 3.4).
Применим условие перпендикулярности прямых (3.5.2):
Условие выполнено;
следовательно, прямые перпендикулярны
(
).
Свойства прямой в евклидовой геометрии.
Через любую точку можно провести бесконечно много прямых.
Через любые две несовпадающие точки можно провести единственную прямую.
Две несовпадающие прямые на плоскости или пересекаются в единственной точке, или являются
параллельными (следует из предыдущего).
В трёхмерном пространстве существуют три варианта взаимного расположения двух прямых:
- прямые пересекаются;
- прямые параллельны;
- прямые скрещиваются.
Прямая линия — алгебраическая кривая первого порядка: в декартовой системе координат прямая линия
задается на плоскости уравнением первой степени (линейное уравнение).
Общее уравнение прямой.
Определение . Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка
Ах + Ву + С = 0,
причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим
уравнением прямой. В зависимости от значений постоянных А, В и С возможны следующие частные случаи:
. C = 0, А ≠0, В ≠ 0 - прямая проходит через начало координат
. А = 0, В ≠0, С ≠0 { By + C = 0} - прямая параллельна оси Ох
. В = 0, А ≠0, С ≠ 0 { Ax + C = 0} - прямая параллельна оси Оу
. В = С = 0, А ≠0 - прямая совпадает с осью Оу
. А = С = 0, В ≠0 - прямая совпадает с осью Ох
Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких - либо заданных
начальных условий.
Уравнение прямой по точке и вектору нормали.
Определение . В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В)
перпендикулярен прямой, заданной уравнением
Ах + Ву + С = 0.
Пример . Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1, 2) перпендикулярно вектору (3, -1).
Решение . Составим при А = 3 и В = -1 уравнение прямой: 3х - у + С = 0. Для нахождения коэффициента С
подставим в полученное выражение координаты заданной точки А. Получаем: 3 - 2 + C = 0, следовательно
С = -1. Итого: искомое уравнение: 3х - у - 1 = 0.
Уравнение прямой, проходящей через две точки.
Пусть в пространстве заданы две точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1) и M2 (x 2, y 2 , z 2), тогда уравнение прямой ,
проходящей через эти точки:
Если какой-либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель. На
плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается:
если х 1 ≠ х 2 и х = х 1 , если х 1 = х 2 .
Дробь = k называется угловым коэффициентом прямой .
Пример . Найти уравнение прямой, проходящей через точки А(1, 2) и В(3, 4).
Решение . Применяя записанную выше формулу, получаем:
Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту.
Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду:
и обозначить , то полученное уравнение называется
уравнением прямой с угловым коэффициентом k.
Уравнение прямой по точке и направляющему вектору.
По аналогии с пунктом, рассматривающим уравнение прямой через вектор нормали можно ввести задание
прямой через точку и направляющий вектор прямой.
Определение . Каждый ненулевой вектор (α 1 , α 2) , компоненты которого удовлетворяют условию
Аα 1 + Вα 2 = 0 называется направляющим вектором прямой.
Ах + Ву + С = 0.
Пример . Найти уравнение прямой с направляющим вектором (1, -1) и проходящей через точку А(1, 2).
Решение . Уравнение искомой прямой будем искать в виде: Ax + By + C = 0. В соответствии с определением,
коэффициенты должны удовлетворять условиям:
1 * A + (-1) * B = 0, т.е. А = В.
Тогда уравнение прямой имеет вид: Ax + Ay + C = 0, или x + y + C / A = 0.
при х = 1, у = 2 получаем С/ A = -3 , т.е. искомое уравнение:
х + у - 3 = 0
Уравнение прямой в отрезках.
Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С≠0, то, разделив на -С, получим:
или , где
Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения
прямой с осью Ох, а b - координатой точки пересечения прямой с осью Оу.
Пример . Задано общее уравнение прямой х - у + 1 = 0. Найти уравнение этой прямой в отрезках.
С = 1, , а = -1, b = 1.
Нормальное уравнение прямой.
Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 разделить на число , которое называется
нормирующем множителем , то получим
xcosφ + ysinφ - p = 0 - нормальное уравнение прямой .
Знак ± нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы μ * С < 0.
р - длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую,
а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.
Пример . Дано общее уравнение прямой 12х - 5у - 65 = 0 . Требуется написать различные типы уравнений
этой прямой.
Уравнение этой прямой в отрезках :
Уравнение этой прямой с угловым коэффициентом : (делим на 5)
Уравнение прямой :
cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.
Следует отметить, что не каждую прямую можно представить уравнением в отрезках, например, прямые,
параллельные осям или проходящие через начало координат.
Угол между прямыми на плоскости.
Определение . Если заданы две прямые y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , то острый угол между этими прямыми
будет определяться как
Две прямые параллельны, если k 1 = k 2 . Две прямые перпендикулярны,
если k 1 = -1/ k 2 .
Теорема .
Прямые Ах + Ву + С = 0 и А 1 х + В 1 у + С 1 = 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты
А 1 = λА, В 1 = λВ . Если еще и С 1 = λС , то прямые совпадают. Координаты точки пересечения двух прямых
находятся как решение системы уравнений этих прямых.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой.
Определение . Прямая, проходящая через точку М 1 (х 1 , у 1) и перпендикулярная к прямой у = kx + b
представляется уравнением:
Расстояние от точки до прямой.
Теорема . Если задана точка М(х 0 , у 0), то расстояние до прямой Ах + Ву + С = 0 определяется как:
Доказательство . Пусть точка М 1 (х 1 , у 1) - основание перпендикуляра, опущенного из точки М на заданную
прямую. Тогда расстояние между точками М и М 1 :
(1)
Координаты x 1 и у 1 могут быть найдены как решение системы уравнений:
Второе уравнение системы - это уравнение прямой, проходящей через заданную точку М 0 перпендикулярно
заданной прямой. Если преобразовать первое уравнение системы к виду:
A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
то, решая, получим:
Подставляя эти выражения в уравнение (1), находим:
Теорема доказана.
В прямоугольной системе координат на плоскости прямая линия может быть задана каноническим уравнением прямой. В этой статье мы сначала выведем , запишем канонические уравнения прямых на плоскости, которые параллельны координатным осям или совпадают с ними, а также приведем примеры. Далее покажем связь канонического уравнения прямой на плоскости с другими видами уравнения этой прямой. В заключении подробно рассмотрим решения характерных примеров и задач на составление канонического уравнения прямой на плоскости.
Навигация по странице.
Каноническое уравнение прямой на плоскости – описание и примеры.
Пусть на плоскости зафиксирована Oxy . Поставим себе задачу: получить уравнение прямой a , если - некоторая точка прямой a и - направляющий вектор прямой a .
Пусть - плавающая точка прямой a . Тогда вектор является направляющим вектором прямой a и имеет координаты (при необходимости смотрите статью ). Очевидно, что множество всех точек на плоскости определяют прямую, проходящую через точку и имеющую направляющий вектор тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны.
Пример.
Напишите каноническое уравнение прямой, которая в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости проходит через две точки и .
Решение.
По известным координатам точек начала и конца мы можем найти координаты вектора : . Этот вектор является направляющим вектором прямой, уравнение которой мы ищем. Каноническое уравнение прямой, проходящей через точку и имеющей направляющий вектор.
Решение.
Нормальный вектор прямой имеет координаты , причем этот вектор является направляющим вектором прямой, уравнение которой мы ищем в силу перпендикулярности прямых. Таким образом, искомое каноническое уравнение прямой на плоскости запишется как .
Ответ:
Список литературы.
- Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
- Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.
Одним из видов уравнений прямой в пространстве является каноническое уравнение. Мы рассмотрим это понятие во всех подробностях, поскольку знать его необходимо для решения многих практических задач.
В первом пункте мы сформулируем основные уравнения прямой, расположенной в трехмерном пространстве, и приведем несколько примеров. Далее покажем способы вычисления координат направляющего вектора при заданных канонических уравнениях и решение обратной задачи. В третьей части мы расскажем, как составляется уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки в трехмерном пространстве, а в последнем пункте укажем на связи канонических уравнений с другими. Все рассуждения будут проиллюстрированы примерами решения задач.
О том, что вообще из себя представляют канонические уравнения прямой, мы уже говорили в статье, посвященной уравнениям прямой на плоскости. Случай с трехмерным пространством мы разберем по аналогии.
Допустим, у нас есть прямоугольная система координат O x y z , в которой задана прямая. Как мы помним, задать прямую можно разными способами. Используем самый простой из них – зададим точку, через которую будет проходить прямая, и укажем направляющий вектор. Если обозначить прямую буквой a , а точку M , то можно записать, что M 1 (x 1 , y 1 , z 1) лежит на прямой a и направляющим вектором этой прямой будет a → = (a x , a y , a z) . Чтобы множество точек M (x , y , z) определяло прямую a , векторы M 1 M → и a → должны быть коллинеарными,
Если мы знаем координаты векторов M 1 M → и a → , то можем записать в координатной форме необходимое и достаточное условие их коллинеарности. Из первоначальных условий нам уже известны координаты a → . Для того чтобы получить координаты M 1 M → , нам необходимо вычислить разность между M (x , y , z) и M 1 (x 1 , y 1 , z 1) . Запишем:
M 1 M → = x - x 1 , y - y 1 , z - z 1
После этого нужное нам условие мы можем сформулировать так: M 1 M → = x - x 1 , y - y 1 , z - z 1 и a → = (a x , a y , a z) : M 1 M → = λ · a → ⇔ x - x 1 = λ · a x y - y 1 = λ · a y z - z 1 = λ · a z
Здесь значением переменной λ может быть любое действительное число или ноль. Если λ = 0 , то M (x , y , z) и M 1 (x 1 , y 1 , z 1) совпадут, что не противоречит нашим рассуждениям.
При значениях a x ≠ 0 , a y ≠ 0 , a z ≠ 0 мы можем разрешить относительно параметра λ все уравнения системы x - x 1 = λ · a x y - y 1 = λ · a y z - z 1 = λ · a z
Между правыми частями после этого можно будет поставить знак равенства:
x - x 1 = λ · a x y - y 1 = λ · a y z - z 1 = λ · a z ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y λ = z - z 1 a z ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z
В итоге у нас получились уравнения x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z , с помощью которых можно определить искомую прямую в трехмерном пространстве. Это и есть нужные нам канонические уравнения.
Такая запись используется даже при нулевых значениях одного или двух параметров a x , a y , a z , поскольку она в этих случаях она также будет верна. Все три параметра не могут быть равны 0 , поскольку направляющий вектор a → = (a x , a y , a z) нулевым не бывает.
Если один-два параметра a равны 0 , то уравнение x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z носит условный характер. Его следует считать равным следующей записи:
x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ , λ ∈ R .
Частные случаи канонических уравнений мы разберем в третьем пункте статьи.
Из определения канонического уравнения прямой в пространстве можно сделать несколько важных выводов. Рассмотрим их.
1) если исходная прямая будет проходить через две точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1) и M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , то канонические уравнения примут следующий вид:
x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z или x - x 2 a x = y - y 2 a y = z - z 2 a z .
2) поскольку a → = (a x , a y , a z) является направляющим вектором исходной прямой, то таковыми будут являться и все векторы μ · a → = μ · a x , μ · a y , μ · a z , μ ∈ R , μ ≠ 0 . Тогда прямая может быть определена с помощью уравнения x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z или x - x 1 μ · a x = y - y 1 μ · a y = z - z 1 μ · a z .
Вот несколько примеров таких уравнений с заданными значениями:
Пример 1 Пример 2
Как составить каноническое уравнение прямой в пространстве
Мы выяснили, что канонические уравнения вида x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z будут соответствовать прямой, проходящей через точку M 1 (x 1 , y 1 , z 1) , а вектор a → = (a x , a y , a z) будет для нее направляющим. Значит, если мы знаем уравнение прямой, то можем вычислить координаты ее направляющего вектора, а при условии заданных координат вектора и некоторой точки, расположенной на прямой, мы можем записать ее канонические уравнения.
Разберем пару конкретных задач.
Пример 3
У нас есть прямая, заданная в трехмерном пространстве с помощью уравнения x + 1 4 = y 2 = z - 3 - 5 . Запишите координаты всех направляющих векторов для нее.
Решение
Чтобы получить координаты направляющего вектора, нам надо просто взять значения знаменателей из уравнения. Мы получим, что одним из направляющих векторов будет a → = (4 , 2 , - 5) , а множество всех подобных векторов можно сформулировать как μ · a → = 4 · μ , 2 · μ , - 5 · μ . Здесь параметр μ – любое действительное число (за исключением нуля).
Ответ: 4 · μ , 2 · μ , - 5 · μ , μ ∈ R , μ ≠ 0
Пример 4
Запишите канонические уравнения, если прямая в пространстве проходит через M 1 (0 , - 3 , 2) и имеет направляющий вектор с координатами - 1 , 0 , 5 .
Решение
У нас есть данные, что x 1 = 0 , y 1 = - 3 , z 1 = 2 , a x = - 1 , a y = 0 , a z = 5 . Этого вполне достаточно, чтобы сразу перейти к записи канонических уравнений.
Сделаем это:
x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z ⇔ x - 0 - 1 = y - (- 3) 0 = z - 2 5 ⇔ ⇔ x - 1 = y + 3 0 = z - 2 5
Ответ: x - 1 = y + 3 0 = z - 2 5
Эти задачи – самые простые, потому что в них есть все или почти все исходные данные для записи уравнения или координат вектора. На практике чаще можно встретить те, в которых сначала нужно находить нужные координаты, а потом записывать канонические уравнения. Примеры таких задач мы разбирали в статьях, посвященных нахождению уравнений прямой, проходящей через точку пространства параллельно заданной, а также прямой, проходящей через некоторую точку пространства перпендикулярно плоскости.
Ранее мы уже говорили, что одно-два значения параметров a x , a y , a z в уравнениях могут иметь нулевые значения. При этом запись x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z = λ приобретает формальный характер, поскольку мы получаем одну или две дроби с нулевыми знаменателями. Ее можно переписать в следующем виде (при λ ∈ R):
x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ
Рассмотрим эти случаи подробнее. Допустим, что a x = 0 , a y ≠ 0 , a z ≠ 0 , a x ≠ 0 , a y = 0 , a z ≠ 0 , либо a x ≠ 0 , a y ≠ 0 , a z = 0 . В таком случае нужные уравнения мы можем записать так:
- В первом случае:
x - x 1 0 = y - y 1 a y = z - z 1 a z = λ ⇔ x - x 1 = 0 y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ ⇔ x - x 1 = 0 y - y 1 a y = z - z 1 a z = λ
Во втором случае:
x - x 1 a x = y - y 1 0 = z - z 1 a z = λ ⇔ x = x 1 + a x · λ y - y 1 = 0 z = z 1 + a z · λ ⇔ y - y 1 = 0 x - x 1 a x = z - z 1 a z = λ
В третьем случае:
x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 0 = λ ⇔ x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z - z 1 = 0 ⇔ z - z 1 = 0 x - x 1 a x = y - y 1 a y = λ
Получается, что при таком значении параметров нужные прямые находятся в плоскостях x - x 1 = 0 , y - y 1 = 0 или z - z 1 = 0 , которые располагаются параллельно координатным плоскостям (если x 1 = 0 , y 1 = 0 либо z 1 = 0). Примеры таких прямых показаны на иллюстрации.
Следовательно, мы сможем записать канонические уравнения немного иначе.
- В первом случае: x - x 1 0 = y - y 1 0 = z - z 1 a z = λ ⇔ x - x 1 = 0 y - y 1 = 0 z = z 1 + a z · λ , λ ∈ R
- Во втором: x - x 1 0 = y - y 1 a y = z - z 1 0 = λ ⇔ x - x 1 = 0 y = y 1 + a y · λ , λ ∈ R z - z 1 = 0
- В третьем: x - x 1 a x = y - y 1 0 = z - z 1 0 = λ ⇔ x = x 1 + a x · λ , λ ∈ R y = y 1 = 0 z - z 1 = 0
Во всех трех случаях исходные прямые будут совпадать с координатными осями или окажутся параллельными им: x 1 = 0 y 1 = 0 , x 1 = 0 z 1 = 0 , y 1 = 0 z 1 = 0 . Их направляющие векторы имеют координаты 0 , 0 , a z , 0 , a y , 0 , a x , 0 , 0 . Если обозначить направляющие векторы координатных прямых как i → , j → , k → , то направляющие векторы заданных прямых будут коллинеарными по отношению к ним. На рисунке показаны эти случаи:
Покажем на примерах, как применяются эти правила.
Пример 5
Найдите канонические уравнения, с помощью которых можно определить в пространстве координатные прямые O z , O x , O y .
Решение
Координатные векторы i → = (1 , 0 , 0) , j → = 0 , 1 , 0 , k → = (0 , 0 , 1) будут для исходных прямых направляющими. Также мы знаем, что наши прямые будут обязательно проходить через точку O (0 , 0 , 0) , поскольку она является началом координат. Теперь у нас есть все данные, чтобы записать нужные канонические уравнения.
Для прямой O x: x 1 = y 0 = z 0
Для прямой O y: x 0 = y 1 = z 0
Для прямой O z: x 0 = y 0 = z 1
Ответ: x 1 = y 0 = z 0 , x 0 = y 1 = z 0 , x 0 = y 0 = z 1 .
Пример 6
В пространстве задана прямая, которая проходит через точку M 1 (3 , - 1 , 12) . Также известно, что она расположена параллельно оси ординат. Запишите канонические уравнения этой прямой.
Решение
Учитывая условие параллельности, мы можем сказать, что вектор j → = 0 , 1 , 0 будет для нужной прямой направляющим. Следовательно, искомые уравнения будут иметь вид:
x - 3 0 = y - (- 1) 1 = z - 12 0 ⇔ x - 3 0 = y + 1 1 = z - 12 0
Ответ: x - 3 0 = y + 1 1 = z - 12 0
Допустим, что у нас есть две несовпадающие точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1) и M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , через которые проходит прямая. Как в таком случае мы можем сформулировать для нее каноническое уравнение?
Для начала примем вектор M 1 M 2 → (или M 2 M 1 →) за направляющий вектор данной прямой. Поскольку у нас есть координаты нужных точек, сразу вычисляем координаты вектора:
M 1 M 2 → = x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1
x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1
Получившиеся равенства – это и есть канонические уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Взгляните на иллюстрацию:
Приведем пример решения задачи.
Пример 7
в пространстве есть две точки с координатами M 1 (- 2 , 4 , 1) и M 2 (- 3 , 2 , - 5) , через которые проходит прямая. Запишите канонические уравнения для нее.
Решение
Согласно условиям, x 1 = - 2 , y 1 = - 4 , z 1 = 1 , x 2 = - 3 , y 2 = 2 , z 2 = - 5 . Нам требуется подставить эти значения в каноническое уравнение:
x - (- 2) - 3 - (- 2) = y - (- 4) 2 - (- 4) = z - 1 - 5 - 1 ⇔ x + 2 - 1 = y + 4 6 = z - 1 - 6
Если мы возьмем уравнения вида x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1 , то у нас получится: x - (- 3) - 3 - (- 2) = y - 2 2 - (- 4) = z - (- 5) - 5 - 1 ⇔ x + 3 - 1 = y - 2 6 = z + 5 - 6
Ответ: x + 3 - 1 = y - 2 6 = z + 5 - 6 либо x + 3 - 1 = y - 2 6 = z + 5 - 6 .
Преобразование канонических уравнений прямой в пространстве в другие виды уравнений
Иногда пользоваться каноническими уравнениями вида x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z не очень удобно. Для решения некоторых задач лучше использовать запись x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ . В некоторых случаях более предпочтительно определить нужную прямую с помощью уравнений двух пересекающихся плоскостей A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 . Поэтому в данном пункте мы разберем, как можно перейти от канонических уравнений к другим видам, если это требуется нам по условиям задачи.
Понять правила перехода к параметрическим уравнениям несложно. Сначала приравняем каждую часть уравнения к параметру λ и разрешим эти уравнения относительно других переменных. В итоге получим:
x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z ⇔ ⇔ x - x 1 a x = λ y - y 1 a y = λ z - z 1 a z = λ ⇔ x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ
Значение параметра λ может быть любым действительным числом, ведь и x , y , z могут принимать любые действительные значения.
Пример 8
В прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве задана прямая, которая определена уравнением x - 2 3 = y - 2 = z + 7 0 . Запишите каноническое уравнение в параметрическом виде.
Решение
Сначала приравниваем каждую часть дроби к λ .
x - 2 3 = y - 2 = z + 7 0 ⇔ x - 2 3 = λ y - 2 = λ z + 7 0 = λ
Теперь разрешаем первую часть относительно x , вторую – относительно y , третью – относительно z . У нас получится:
x - 2 3 = λ y - 2 = λ z + 7 0 = λ ⇔ x = 2 + 3 · λ y = - 2 · λ z = - 7 + 0 · λ ⇔ x = 2 + 3 · λ y = - 2 · λ z = - 7
Ответ: x = 2 + 3 · λ y = - 2 · λ z = - 7
Следующим нашим шагом будет преобразование канонических уравнений в уравнение двух пересекающихся плоскостей (для одной и той же прямой).
Равенство x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z нужно для начала представить в виде системы уравнений:
x - x 1 a x = y - y 1 a y x - x 1 a x = z - z 1 a x y - y 1 a y = z - z 1 a z
Поскольку p q = r s мы понимаем как p · s = q · r , то можно записать:
x - x 1 a x = y - y 1 a y x - x 1 a x = z - z 1 a z y - y 1 a y = z - z 1 a z ⇔ a y · (x - x 1) = a x · (y - y 1) a z · (x - x 1) = a x · (z - z 1) a z · (y - y 1) = a y · (z - z 1) ⇔ ⇔ a y · x - a x · y + a x · y 1 - a y · x 1 = 0 a z · x - a x · z + a x · z 1 - a z · x 1 = 0 a z · y - a y · z + a y · z 1 - a z · y 1 = 0
В итоге у нас вышло, что:
x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z ⇔ a y · x - a x · y + a x · y 1 - a y · x 1 = 0 a z · x - a x · z + a x · z 1 - a z · x 1 = 0 a z · y - a y · z + a y · z 1 - a z · y 1 = 0
Выше мы отмечали, что все три параметра a не могут одновременно быть нулевыми. Значит, ранг основной матрицы системы будет равен 2 , поскольку a y - a x 0 a z 0 - a x 0 a z - a y = 0 и один из определителей второго порядка не равен 0:
a y - a x a z 0 = a x · a z , a y 0 a z - a x = a x · a y , - a x 0 0 - a x = a x 2 a y - a x 0 a z = a y · a z , a y 0 0 - a y = - a y 2 , - a x 0 a z - a y = a x · a y a z 0 0 a z = a z 2 , a z - a x 0 - a y = - a y · a z , 0 - a x a z - a y = a x · a z
Это дает нам возможность исключить одно уравнение из наших расчетов. Таким образом, канонические уравнения прямой можно преобразовать в систему из двух линейных уравнений, которые будут содержать 3 неизвестных. Они и будут нужными нам уравнениями двух пересекающихся плоскостей.
Рассуждение выглядит довольно сложным, однако на практике все делается довольно быстро. Продемонстрируем это на примере.
Пример 9
Прямая задана каноническим уравнением x - 1 2 = y 0 = z + 2 0 . Напишите для нее уравнение пересекающихся плоскостей.
Решение
Начнем с попарного приравнивания дробей.
x - 1 2 = y 0 = z + 2 0 ⇔ x - 1 2 = y 0 x - 1 2 = z + 2 0 y 0 = z + 2 0 ⇔ ⇔ 0 · (x - 1) = 2 y 0 · (x - 1) = 2 · (z + 2) 0 · y = 0 · (z + 2) ⇔ y = 0 z + 2 = 0 0 = 0
Теперь исключаем из расчетов последнее уравнение, потому что оно будет верным при любых x , y и z . В таком случае x - 1 2 = y 0 = z + 2 0 ⇔ y = 0 z + 2 = 0 .
Это и есть уравнения двух пересекающихся плоскостей, которые при пересечении образуют прямую, заданную с помощью уравнения x - 1 2 = y 0 = z + 2 0
Ответ: y = 0 z + 2 = 0
Пример 10
Прямая задана уравнениями x + 1 2 = y - 2 1 = z - 5 - 3 , найдите уравнение двух плоскостей, пересекающихся по данной прямой.
Решение
Приравниваем дроби попарно.
x + 1 2 = y - 2 1 = z - 5 - 3 ⇔ x + 1 2 = y - 2 1 x + 1 2 = z - 5 - 3 y - 2 1 = z - 5 - 3 ⇔ ⇔ 1 · (x + 1) = 2 · (y - 2) - 3 · (x + 1) = 2 · (z - 5) - 3 · (y - 2) = 1 · (z - 5) ⇔ x - 2 y + 5 = 0 3 x + 2 z - 7 = 0 3 y + 7 - 11 = 0
Получаем, что определитель основной матрицы полученной системы будет равен 0:
1 - 2 0 3 0 2 0 3 1 = 1 · 0 · 1 + (- 2) · 2 · 0 + 0 · 3 · 3 - 0 · 0 · 0 - 1 · 2 · 3 - (- 2) · 3 · 1 = 0
Минор второго порядка нулевым при этом не будет: 1 - 2 3 0 = 1 · 0 - (- 2) · 3 = 6 . Тогда мы можем принять его в качестве базисного минора.
В итоге мы можем вычислить ранг основной матрицы системы x - 2 y + 5 = 0 3 x + 2 z - 7 = 0 3 y + z - 11 = 0 . Это будет 2. Третье уравнение исключаем из расчета и получаем:
x - 2 y + 5 = 0 3 x + 2 z - 7 = 0 3 y + z - 11 = 0 ⇔ x - 2 y + 5 = 0 3 x + 2 z - 7 = 0
Ответ: x - 2 y + 5 = 0 3 x + 2 z - 7 = 0
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Пусть l - некоторая прямая пространства. Как и в планиметрии, любой вектор
а =/= 0, коллинеарный прямой l , называется направляющим вектором этой прямой.
Положение прямой в пространстве полностью определяется заданием направляющего вектора и точки, принадлежащей прямой.
Пусть прямая l с направляющим вектором а проходит через точку M 0 , а М - произвольная точка пространства. Очевидно, что точка М (рис. 197) принадлежит прямой l тогда и только тогда, когда вектор \(\overrightarrow{M_0 M}\) коллинеарен вектору а , т. е.
\(\overrightarrow{M_0 M}\) = ta , t \(\in \) R . (1)
Если точки М и M 0 заданы своими радиус-векторами r и r 0 (рис. 198) относительно некоторой точки О пространства, то \(\overrightarrow{M_0 M}\) = r - r 0 , и уравнение (1) принимает вид
r = r 0 + ta , t \(\in \) R . (2)
Уравнения (1) и (2) называются векторно-параметрическими уравнениями прямой. Переменная t в векторно-параметрических уравнениях прямой называется параметром .
Пусть точка M 0 прямой l и направляющий вектор а заданы своими координатами:
M 0 (х 0 ; у 0 , z 0), а = (а 1 ; а 2 ; а 3).
Тогда, если (х; у; z ) - координаты произвольной точки М прямой l , то
\(\overrightarrow{M_0 M} \) = (х - х 0 ; у - у 0 ; z - z 0)
и векторное уравнение (1) равносильно следующим трем уравнениям:
х - х 0 = tа 1 , у - у 0 = tа 2 , z - z 0 = tа 3
$$ \begin{cases} x = x_0 + ta_1 \\ y = y_0 + ta_2 \\ z = z_0 + ta_3, \;\;t\in R\end{cases} (3)$$
Уравнения (3) называются параметрическими уравнениями прямой в пространстве.
Задача 1. Написать параметрические уравнения прямой, проходящей через точку
M 0 (-3; 2; 4) и имеющей направляющий вектор а = (2; -5; 3).
В данном случае х 0 = -3, у 0 = 2, z 0 = 4; а 1 = 2; а 2 = -5; а 3 = 3. Подставив эти значения в формулы (3), получим параметрические уравнения данной прямой
$$ \begin{cases} x = -3 - 2t \\ y = 2 - 5t \\ z = 4 + 3t, \;\;t\in R\end{cases} $$
Исключим параметр t из уравнений (3). Это можно сделать, так как а =/= 0, и поэтому одна из координат вектора а заведомо отлична от нуля.
Пусть сначала все координаты отличны от нуля. Тогда
$$ t=\frac{x-x_0}{a_1},\;\;t=\frac{y-y_0}{a_2},\;\;t=\frac{z-z_0}{a_3} $$
и, следовательно,
$$ \frac{x-x_0}{a_1}=\frac{y-y_0}{a_2}=\frac{z-z_0}{a_3} \;\; (4)$$
Эти уравнения называются каноническими уравнениями прямой .
Заметим, что уравнения (4) образуют систему двух уравнений с тремя переменными х, у и z.
Если в уравнениях (3) одна из координат вектора а , например а 1 равна нулю, то, исключив параметр t , снова получим систему двух уравнений с тремя переменными х, у и z :
\(x=x_0, \;\; \frac{y-y_0}{a_2}=\frac{z-z_0}{a_3}\)
Эти уравнения также называются каноническими уравнениями прямой. Для единообразия их также условно записывают в виде (4)
\(\frac{x-x_0}{0}=\frac{y-y_0}{a_2}=\frac{z-z_0}{a_3}\)
считая, что если знаменатель равен нулю, то равен нулю и соответствующий числитель. Эти уравнения являются уравнениями прямой, проходящей через точку M 0 (х 0 ; у 0 , z 0) параллельно координатной плоскости yOz , так как этой плоскости параллелен ее направляющий вектор (0; а 2 ; а 3).
Наконец, если в уравнениях (3) две координаты вектора а , например а 1 и а 2 равны нулю, то эти уравнения принимают вид
х = х 0 , y = у 0 , z = z 0 + ta 3 , t \(\in \) R .
Это уравнения прямой, проходящей через точку M 0 (х 0 ; у 0 ; z 0) параллельно оси Oz . Для такой прямой х = х 0 , y = у 0 , a z - любое число. И в этом случае для единообразия уравнения прямой можно записывать (с той же оговоркой) в виде (4)
\(\frac{x-x_0}{0}=\frac{y-y_0}{0}=\frac{z-z_0}{a_3}\)
Таким образом, для любой прямой пространства можно написать канонические уравнения (4), и, наоборот, любое уравнение вида (4) при условии, что хотя бы один из коэффициентов а 1 , а 2 , а 3 не равен нулю, задает некоторую прямую пространства.
Задача 2. Написать канонические уравнения прямой, проходящей через точку M 0 (- 1; 1, 7) параллельно вектору а = (1; 2; 3).
Уравнения (4) в данном случае записываются слeдующим образом:
\(\frac{x+1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-7}{3}\)
Выведем уравнения прямой, проходящей через две данные точки M 1 (х 1 ; у 1 ; z 1) и
M 2 (х 2 ; у 2 ; z 2). Очевидно, что за направляющий вектор этой прямой можно взять вектор a = (х 2 - х 1 ; у 2 - у 1 ; z 2 - z 1), а за точку М 0 , через которую проходит прямая, например, точку M 1 . Тогда уравнения (4) запишутся так:
\(\frac{x-x_1}{x_2 - x_1}=\frac{y-y_1}{y_2 - y_1}=\frac{z-z_1}{z_2 - z_1}\) (5)
Это и есть уравнения прямой, проходящей через две точки M 1 (х 1 ; у 1 ; z 1) и
M 2 (х 2 ; у 2 ; z 2).
Задача 3. Написать уравнения прямой, проходящей через точки M 1 (-4; 1; -3) и M 2 (-5; 0; 3).
В данном случае х 1 = -4, у 1 = 1, z 1 = -3, х 2 = -5, у 2 = 0, z 2 = 3. Подставив эти значения в формулы (5), получим
\(\frac{x+4}{-1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z+3}{6}\)
Задача 4. Написать уравнения прямой, проходящей через точки M 1 (3; -2; 1) и
M 2 (5; -2; 1 / 2).
После подстановки координат точек M 1 и M 2 в уравнения (5) получим
\(\frac{x-3}{2}=\frac{y+2}{0}=\frac{z-1}{-\frac{1}{2}}\)