Кинетическая энергия при вращательном движении. Теорема об изменении кинетической энергии. Кинетическая энергия вращающегося твёрдого тела
Задачи
1. Определить, во сколько раз эффективная масса больше тяготеющей массы поезда массой 4000 т, если масса колес составляет 15% от массы поезда. Колеса считать дисками диаметром 1,02 м. Как изменится ответ, если диаметр колес будет в два раза меньше?
2. Определить ускорение, с которым скатывается колесная пара массой 1200 кг с горки с уклоном 0,08. Колеса считать дисками. Коэффициент сопротивления качению 0,004. Определить силу сцепления колес с рельсами.
3. Определить, с каким ускорением закатывается колесная пара массой 1400 кг на горку с уклоном 0,05. Коэффициент сопротивления 0,002. Каким должен быть коэффициент сцепления, чтобы колеса не буксовали. Колеса считать дисками.
4. Определить, с каким ускорением скатывается вагон массой 40 т, с горки с уклоном 0,020, если у него восемь колес массой 1200 кг и диаметром 1,02 м. Определить силу сцепления колес с рельсами. Коэффициент сопротивления 0,003.
5. Определить силу давления тормозных колодок на бандажи, если поезд массой 4000 т тормозит с ускорением 0,3 м/с 2 . Момент инерции одной колесной пары 600 кг·м 2 , количество осей 400, коэффициент трения скольжения колодки 0,18, коэффициент сопротивления качению 0,004.
6. Определить силу торможения, действующую на четырехосный вагон массой 60 т на тормозной площадке сортировочной горки, если скорость на пути 30 м уменьшилась от 2 м/с до 1,5 м/с. Момент инерции одной колесной пары 500 кг·м 2 .
7. Скоростемер локомотива показал увеличение скорости поезда в течении одной минуты от 10 м/с до 60 м/c. Вероятно, произошло буксование ведущей колесной пары. Определить момент сил, действующих на якорь электродвигателя. Момент инерции колесной пары 600 кг·м 2 , якоря 120 кг·м 2 . Передаточное отношение зубчатой передачи 4,2. Сила давления на рельсы 200 кН, коэффициент трения скольжения колес по рельсу 0,10.
11. КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ВРАЩАТЕЛЬОГО
ДВИЖЕНИЯ
Выведем формулу кинетической энергии вращательного движения. Пусть тело вращается с угловой скоростью ω относительно неподвижной оси. Любая небольшая частица тела совершает поступательное движение по окружности со скоростью , где r i – расстояние до оси вращения, радиус орбиты. Кинетическая энергия частицы массы m i равна . Полная кинетическая энергия системы частиц равна сумме их кинетических энергий. Просуммируем формулы кинетической энергии частиц тела и вынесем за знак суммы половину квадрата угловой скорости, которая одинакова для всех частиц, . Сумма произведений масс частиц на квадраты их расстояний до оси вращения является моментом инерции тела относительно оси вращения . Итак, кинетическая энергия тела, вращающегося относительно неподвижной оси, равна половине произведения момента инерции тела относительно оси на квадрат угловой скорости вращения :
С помощью вращающихся тел можно запасать механическую энергию. Такие тела называются маховиками. Обычно это тела вращения. Известно с древности применение маховиков в гончарном круге. В двигателях внутреннего сгорания во время рабочего хода поршень сообщает механическую энергию маховику, который затем три последующих такта совершает работу по вращению вала двигателя. В штампах и прессах маховик приводится во вращение сравнительно маломощным электродвигателем, накапливает механическую энергию почти в течение полного оборота и в кратковременный момент удара отдает ее на работу штампования.
Известны многочисленные попытки применения вращающихся маховиков для привода в движение транспортных средств: легковых автомобилей, автобусов. Их называют махомобили, гировозы. Таких экспериментальных машин было создано немало. Было бы перспективно применять маховики для аккумулирования энергии при торможении электропоездов с целью использования накопленной энергии при последующем разгоне. Известно, что маховичный накопитель энергии используется на поездах метрополитена Нью-Йорка.
Определим кинетическую энергию твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Разобьем это тело на n материальных точек. Каждая точка движется с линейной скоростью υ i =ωr i , тогда кинетическая энергия точки
или
Полная кинетическая энергия вращающегося твердого тела равна сумме кинетических энергий всех его материальных точек:
(3.22)
(J - момент инерции тела относительно оси вращения)
Если траектории всех точек лежат в параллельных плоскостях (как у цилиндра, скатывающегося с наклонной плоскости, каждая точка перемещается в своей плоскости рис), это плоское движение . В соответствии с принципом Эйлера плоское движение всегда можно бесчисленным количеством способов разложить на поступательное и вращательное движение. Если шарик падает или скользит вдоль наклонной плоскости, он двигается только поступательно; когда же шарик катится – он ещё и вращается.
Если тело совершает поступательное и вращательное движения одновременно, то его полная кинетическая энергия равна
(3.23)
Из сопоставления формул кинетической энергии для поступательного и вращательного движений видно, что мерой инертности при вращательном движении служит момент инерции тела.
§ 3.6 Работа внешних сил при вращении твёрдого тела
При вращении твёрдого тела его потенциальная энергия не изменяется, поэтому элементарная работа внешних сил равна приращению кинетической энергии тела:
dA
= dE
или
Учитывая, что Jβ = M, ωdr = dφ, имеем α тела на конечный угол φ равна
(3.25)
При вращении твёрдого тела вокруг неподвижной оси работа внешних сил определяется действием момента этих сил относительно данной оси. Если момент сил относительно оси равен нулю, то эти силы работы не производят.
Примеры решения задач
Пример 2.1. Маховик массой m =5кг и радиусом r = 0,2 м вращается вокруг горизонтальной оси с частотой ν 0 =720 мин -1 и при торможении останавливается за t =20 с. Найти тормозящий момент и число оборотов до остановки.
Для определения тормозящего момента применим основное уравнение динамики вращательного движения
где I=mr 2 – момент инерции диска; Δω =ω - ω 0 , причём ω =0 конечная угловая скорость, ω 0 =2πν 0 - начальная. М –тормозящий момент сил, действующих на диск.
Зная все величины, можно определить тормозящий момент
Mr 2 2πν 0 = МΔt (1)
(2)
Из кинематики вращательного движения угол поворота за время вращения диска до остановки может быть определён по формуле
(3)
где β–угловое ускорение.
По условию задачи: ω =ω 0 – βΔt, так как ω=0, ω 0 = βΔt
Тогда выражение (2) может быть записано в виде:
Пример 2.2. Два маховика в виде дисков одинаковых радиусов и масс были раскручены до скорости вращения n = 480 об/мин и предоставили самим себе. Под действием сил трения валов о подшипники первый остановился через t =80 с, а второй сделал N = 240 оборотов до остановки. У какого и маховика момент сил трения валов о подшипники был больше и во сколько раз.
Момент сил терния М 1 первого маховика найдём, воспользовавшись основным уравнением динамики вращательного движения
M 1 Δt = Iω 2 - Iω 1
где Δt – время действия момента сил трения, I=mr 2 - момент инерции маховика, ω 1 = 2πν и ω 2 = 0– начальная и конечная угловые скорости маховиков
Тогда
Момент сил трения М 2 второго маховика выразим через связь между работой А сил трения и изменением его кинетической энергии ΔE к:
где Δφ = 2πN – угол поворота, N -число оборотов маховика.
Тогда, откуда
Отношение будет равно
Момент сил трения второго маховика в 1.33 раза больше.
Пример 2.3. Масса однородного сплошного диска m, массы грузов m 1 и m 2 (рис.15). Скольжения и трения нити в оси цилиндра нет. Найти ускорение грузов и отношение натяжений нити в процессе движения.
Проскальзывания нити нет, поэтому, когда m 1 и m 2 будут совершать поступательное движение, цилиндр будет совершать вращение относительно оси, проходящей через точку О. Положим для определённости, что m 2 > m 1 .
Тогда груз m 2 опускается и цилиндр вращается по часовой стрелке. Запишем уравнения движения тел, входящих в систему
Первые два уравнения записаны для тел с массами m 1 и m 2 , совершающих поступательное движение, а третье уравнение – для вращающегося цилиндра. В третьем уравнении слева стоит суммарный момент сил, действующих на цилиндр (момент силы T 1 взят со знаком минус, так как сила T 1 стремится повернуть цилиндр против часовой стрелки). Справа I - момент инерции цилиндра относительно оси О, который равен
где R - радиус цилиндра; β - угловое ускорение цилиндра.
Так как
проскальзывания нити нет, то
. С учётом выражений для I и β получим:
Складывая уравнения системы, приходим к уравнению
Отсюда находим ускорение a грузов
Из полученного уравнения видно, что натяжения нитей будут одинаковы, т.е. =1, если масса цилиндра будет гораздо меньше массы грузов.
Пример
2.4.
Полый
шар массой m = 0,5 кг имеет внешний радиус
R = 0,08м и внутренний r = 0,06м. Шар вращается
вокруг оси, проходящей через его центр.
В определённый момент на шар начинает
действовать сила, в результате чего
угол поворота шара изменяется по закону
.
Определить момент приложенной силы.
Решаем задачу,
используя основное уравнение динамики
вращательного движения
.
Основная трудность – определить момент
инерции полого шара, а угловое ускорение
β находим как
.
Момент инерции I полого шара равен
разности моментов инерции шара радиуса
R и шара радиуса r:
где ρ - плотность материала шара. Находим плотность, зная массу полого шара
Отсюда определим плотность материала шара
Для момента силы M получаем следующее выражение:
Пример 2.5. Тонкий стержень массой 300г и длиной 50см вращается с угловой скоростью 10с -1 в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через середину стержня. Найдите угловую скорость, если в процессе вращения в той же плоскости стержень переместится так, что ось вращения пройдёт через конец стержня.
Используем закон сохранения момента импульса
(1)
(J i -момент инерции стержня относительно оси вращения).
Для изолированной системы тел векторная сумма моментов импульса остаётся постоянной. Вследствие того, что распределение массы стержня относительно оси вращения изменяется момент инерции стержня также изменяется в соответствии с (1):
J 0 ω 1 = J 2 ω 2 . (2)
Известно, что момент инерции стержня относительно оси, проходящей через центр масс и перпендикулярной стержню, равен
J 0 = mℓ 2 /12. (3)
По теореме Штейнера
J =J 0 +mа 2
(J-момент инерции стержня относительно произвольной оси вращения; J 0 – момент инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс; а - расстояние от центра масс до выбранной оси вращения).
Найдём момент инерции относительно оси, проходящей через его конец и перпендикулярной стержню:
J 2 =J 0 +mа 2 , J 2 = mℓ 2 /12 +m(ℓ/2) 2 = mℓ 2 /3. (4)
Подставим формулы (3) и (4) в (2):
mℓ 2 ω 1 /12 = mℓ 2 ω 2 /3
ω 2 = ω 1 /4 ω 2 =10с-1/4=2,5с -1
Пример 2.6 . Человек массой m =60кг, стоящий на краю платформы массой М=120кг, вращающейся по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси с частотой ν 1 =12мин -1 , переходит к её центру. Считая платформу круглым однородным диском, а человека – точечной массой, определите, с какой частотой ν 2 будет тогда вращаться платформа.
Дано: m=60кг, М=120кг, ν 1 =12мин -1 = 0,2с -1 .
Найти: ν 1
Решение: Согласно условию задачи, платформа с человеком вращается по инерции, т.е. результирующий момент всех сил, приложенных к вращающейся системе, равен нулю. Поэтому для системы «платформа-человек» выполняется закон сохранения момента импульса
I 1 ω 1 = I 2 ω 2
где
-
момент инерции системы, когда человек
стоит на краю платформы (учли, что момент
инерции платформы, равен(R
– радиус п
латформы),
момент инерции человека на краю платформы
равенmR 2).
- момент инерции системы, когда человек стоит в центре платформы (учли, что момент человека, стоящего в центре платформы, равен нулю). Угловая скорость ω 1 = 2π ν 1 и ω 1 = 2π ν 2 .
Подставив записанные выражения в формулу (1), получаем
откуда искомая частота вращения
Ответ : ν 2 =24мин -1 .
> Вращательная кинетическая энергия: работа, энергия и мощность
Изучите кинетическую энергию вращательного движения – формулы. Читайте о моменте инерции, механической работе, поступательном и вращательном движении.
Обуславливается вращением тела.
Задача обучения
- Выразить вращательную кинетическую энергию, основываясь на угловой скорости и моменте инерции, а также связать ее с полной кинетической энергией.
Основные пункты
- Вращательная кинетическая энергия выражается как E вращения = 0.5 Iω 2 (где ω – момент инерции вокруг оси вращения).
- Механическая работа – W = τθ.
- Мгновенная мощность углового ускоряющего тела – P = τω.
- Просматривается тесная связь между результатом для вращательной энергии и удерживаемой линейным движением.
Термины
- Инертность – свойство тела сопротивляться любому изменению своего равномерного движения.
- Вращательный момент – вращательный эффект силы, измеряемый в ньютонах на метр.
- Угловая скорость – векторная величина, характеризующая тело в круговом движении. Величина приравнивается к скорости частички, а направление расположено перпендикулярно плоскости.
Вращательная кинетическая энергия – кинетическая энергия, созданная вращением тела и выступающая частью полной кинетической энергии. Если мы захотим разобрать конкретный случай, то понадобится формула E вращения = 0.5 Iω 2 (I – момент инерции вокруг оси вращения, ω – угловая скорость).
Во время вращения применяется механическая работа, отображающая момент (τ), умноженный на угол поворота (θ): W = τθ.
Мгновенная мощность углового ускоряющегося объекта: P = τω.
Просматривается тесная связь между результатом для вращательной энергии и удерживаемой линейным (поступательным) движением: E поступательное = 0.5 mv 2 .
Во вращающейся системе момент инерции напоминает массу, а угловая скорость выступает линейной.
Давайте посмотрим на кинетическую энергию нашей планеты. Земля совершает один осевой оборот за 23.93 часов при угловой скорости 7.29 х 10 -5 . Момент инерции – 8.04 х 10 37 кг · м 2 . Поэтому вращательная кинетическая энергия – 2.148 × 10 29 Дж.
Вращение Земли выступает ярчайшим примером вращательной кинетической энергии
Кинетическую энергию вращательного движения также можно вычислить при помощи приливной силы. Дополнительное трение от двух масштабных приливных волн создает энергию, замедляющую угловую скорость планеты. Угловой момент сохраняется, поэтому процесс передает момент импульса орбитальному лунному перемещению, увеличивая удаленность от Земли и орбитальный период.
Количество вращательной кинематики | |||||
Угловое ускорение | |||||
Вращательная кинематика | |||||
Динамика | |||||
Вращательная кинетическая энергия | |||||
Сохранение углового момента | |||||
Векторная природа вращательной кинематики | |||||
Решение проблем | |||||
Линейные и вращательные величины | |||||
Сохранение энергии |
Кинетическая энергия вращающегося тела равна сумме кинетических энергий всех частиц тела:
Масса какой-либо частицы, ее линейная (окружная) скорость, пропорциональная расстоянию данной частицы от оси вращения. Подставляя в это выражение и вынося за знак суммы общую для всех частиц угловую скорость о, находим:
Эту формулу для кинетической энергии вращающегося тела можно привести к виду, аналогичному выражению кинетической энергии поступательного движения, если ввести величину так называемого момента инерции тела. Моментом инерции материальной точки называют произведение массы точки на квадрат расстояния ее от оси вращения. Момент инерции тела есть сумма моментов инерции всех материальных точек тела:
Итак, кинетическая энергия вращающегося тела определяется такой формулой:
Формула (2) отличается от формулы, определяющей кинетическую энергию тела при поступательном движении, тем, что вместо массы тела здесь входит момент инерции I и вместо скорости групповая скорость
Большой кинетической энергией вращающегося маховика пользуются в технике, чтобы сохранить равномерность хода машины при внезапно меняющейся нагрузке. Вначале, чтобы привести маховик с большим моментом инерции во вращение, от машины требуется затрата значительной работы, но зато при внезапном включении большой нагрузки машина не останавливается и производит работу за счет запаса кинетической энергии маховика.
Особенно массивные маховые колеса применяют в прокатных станах, приводимых в действие электромотором. Вот описание одного из таких колес: «Колесо имеет в диаметре 3,5 м и весит При нормальной скорости 600 об/мин запас кинетической энергии колеса таков, что в момент проката колесо дает стану мощность в 20 000 л. с. Трение в подшипниках сведено до минимума сказкой под давлением, и во избежание вредного действия центробежных сил инерции колесо уравновешено так, что груз в помещенный на окружности колеса, выводит его из состояния покоя».
Приведем (без выполнения вычислений) значения моментов инерции некоторых тел (предполагается, что каждое из этих тел имеет одинаковую во всех своих участках плотность).
Момент инерции тонкого кольца относительно оси, проходящей через его центр и перпендикулярной к его плоскости (рис. 55):
Момент инерции круглого диска (или цилиндра) относительно оси, проходящей через его центр и перпендикулярной к его плоскости (полярный момент инерции диска; рис. 56):
Момент инерции тонкого круглого диска относительно оси, совпадающей с его диаметром (экваториальный момент инерции диска; рис. 57):
Момент инерции шара относительно оси, проходящей через центр шара:
Момент инерции тонкого сферического слоя радиуса относительно оси, проходящей через центр:
Момент инерции толстого сферического слоя (полого шара, имеющего радиус внешней поверхности и радиус полости ) относительно оси, проходящей через центр:
Вычисление моментов инерции тел производится при помощи интегрального исчисления. Чтобы дать представление о ходе подобных расчетов, найдем момент инерции стержня относительно перпендикулярной к нему оси (рис. 58). Пусть есть сечение стержня, плотность. Выделим элементарно малую часть стержня, имеющую длину и находящуюся на расстоянии х от оси вращения. Тогда ее масса Так как она находится на расстоянии х от оси вращения, то ее момент инерции Интегрируем в пределах от нуля до I:
Момент инерции прямоугольного параллелепипеда относительно оси симметрии (рис. 59)
Момент инерции кольцевого тора (рис. 60)
Рассмотрим, как связана энергия вращения катящегося (без скольжения) по плоскости тела с энергией поступательного движения этого тела,
Энергия поступательного движения катящегося тела равна , где масса тела и скорость поступательного движения. Пусть означает угловую скорость вращения катящегося тела и радиус тела. Легко сообразить, что скорость поступательного движения тела, катящегося без скольжения, равна окружной скорости тела в точках соприкосновения тела с плоскостью (за время когда тело совершает один оборот, центр тяжести тела перемещается на расстояние следовательно,
Таким образом,
Энергия вращения
следовательно,
Подставляя сюда указанные выше значения моментов инерции, находим, что:
а) энергия вращательного движения катящегося обруча равна энергии его поступательного движения;
б) энергия вращения катящегося однородного диска равна половине энергии поступательного движения;
в) энергия вращения катящегося однородного шара составляет энергии поступательного движения.
Зависимость момента инерции от положения оси вращения. Пусть стержень (рис. 61) с центром тяжести в точке С вращается с угловой скоростью (о вокруг оси О, перпендикулярной к плоскости чертежа. Положим, что в течение некоторого промежутка времени он переместился из положения А В в причем центр тяжести описал дугу Это перемещение стержня можно рассматривать так, как если бы стержень сначала поступательно (т. е. оставаясь себе параллельным) переместился в положение и затем повернулся вокруг С в положение Обозначим (расстояние центра тяжести от оси вращения) через а, а угол через При движении стержня из положения А В в положение перемещение каждой его частицы одинаково с перемещением центра тяжести, т. е. оно равно или Чтобы получить действительное движение стержня, мы можем предположить, что оба указанных движения совершаются одновременно. В соответствии с этим кинетическую энергию стержня, вращающегося с угловой скоростью вокруг оси, проходящей через О, можно разложить на две части.