Определение координат центра тяжести плоских фигур. Как вычислить центр тяжести плоской ограниченной фигурыс помощью двойного интеграла? Положение центра тяжести тела
§1. Ц ентр тяжести однородного тела.
Рассмотрим твердое тело весом P и объемом V в системе координат Oxyz , где оси x и y связаны с поверхностью земли, а ось z направлена в зенит.
Если разбить тело на элементарные части объемом ∆ V i , то на каждую его часть будет действовать сила притяжения ∆ P i , направленная к центру Земли. Предположим, что размеры тела значительно меньше размеров Земли, тогда систему сил, приложенных к элементарным частям тела можно считать не сходящейся, а параллельной (рис.1), и к ней применимы все выводы предыдущей главы.
Рис.1. Параллельная система сил
Центром тяжести твердого тела называется центр параллельных сил тяжести элементарных частей этого тела.
При определении центра тяжести полезны несколько теорем.
1) Если однородное тело имеет плоскость симметрии, то центр тяжести его находится в этой
плоскости.
2) Если однородное тело имеет ось симметрии, то центр тяжести тела находится на этой оси.
3) Если однородное тело имеет центр симметрии, то центр тяжести тела находится в этой точке.
§2. Способы определения координат центра тяжести.
1. Симметрия. Если однородное тело имеет плоскость, ось или центр симметрии (рис.2), то его центр тяжести лежит соответственно в плоскости симметрии, оси симметрии или в центре симметрии.
Рис.2. Центр тяжести тел, имеющих ось симметрии
2. Разбиение. Тело разбивается на конечное число частей (рис.3), для каждой из которых положение центра тяжести и площадь известны.
Рис.3. Центр тяжести сплошной
сложной геометрической фигуры
Центр тяжести и площадь первой фигуры;
Координата центра тяжести сплошной сложной геометрической фигуры по оси x ;
Координата центра тяжести сплошной сложной геометрической фигуры по оси y ;
3. Метод отрицательных площадей. Частный случай способа разбиения (рис.4). Он применяется к телам, имеющим вырезы, если центры тяжести тела без выреза и вырезанной части известны. Тело в виде пластинки с вырезом представляют комбинацией сплошной пластинки (без выреза) с площадью S 1 и площади вырезанной части S 2 .
Рис.4. Центр тяжести сложной геометрической фигуры,
Имеющей отверстие
- центр тяжести и площадь первой фигуры;
- центр тяжести и площадь второй фигуры;
x ;
Координата центра тяжести сложной геометрической фигуры по оси y ;
§3. Координаты центра тяжести некоторых простых фигур.
1. Центр тяжести треугольника. Ц ентр тяжести треугольника лежит в точке пересечения его медиан (рис.5) . К оординаты центра тяжести треугольника представляют собой среднее арифметическое из координат его вершин: x c =1/3 (x 1 +x 2 +x 3 ) ; y c =1/3 (y 1 +y 2 +y 3) .
Рис.5. Центр тяжести треугольника
2. Центр тяжести прямоугольника. Ц ентр тяжести прямоугольника лежит в точке пересечения его диагоналей (рис.6) . К оординаты центра тяжести прямоугольника рассчитываются по формулам: x c =b/2 ; y c =h/2 .
Рис. 6. Центр тяжести треугольника
3. Центр тяжести полукруга. Ц ентр тяжести полукруга лежит на оси симметрии (рис.7) . К оординаты центра тяжести полукруга рассчитываются по формулам: x c =D/2 ; y c =4R/3 π .
Рис. 7. Центр тяжести полукруга
4. Центр тяжести круга. Ц ентр тяжести круга лежит в центре (рис.8) . К оординаты центра тяжести круга рассчитываются по формулам: x c =R ; y c =R .
Рис. 8. Центр тяжести круга
Вопросы для самопроверки:
Что называется центром параллельных сил?
Что называется центром тяжести тела?
Почему силы притяжения Земле, действующие на точку тела, можно принять за систему параллельных сил?
Запишите формулу для определения положения центра тяжести неоднородных и однородных тел, формулу для определения положения центра тяжести плоских сечений?
Запишите формулу для определения положения центра тяжести простых геометрических фигур: прямоугольника, квадрата, трапеции и половины круга?
Как используются свойства симметрии при определении центров тяжести тел?
В чем состоит сущность способа отрицательных площадей?
Каким графическим построением можно найти центр тяжести треугольника?
Запишите формулу, определяющую центр тяжести треугольника.
Центром тяжести твердого тела называется геометрическая точка, жестко связанная с этим телом, и являющаяся центром параллельных сил тяжести, приложенных к отдельным элементарным частицам тела (рисунок 1.6).
Радиус-вектор этой точки
Рисунок 1.6
Для однородного тела положение центра тяжести тела не зависит от материала, а определяется геометрической формой тела.
Если удельный вес однородного тела γ , вес элементарной частицы тела
P k = γΔV k (P = γV ) подставить в формулу для определения r C , имеем
Откуда, проецируя на оси и переходя к пределу, получаем координаты центра тяжести однородного объема
Аналогично для координат центра тяжести однородной поверхности площадью S (рисунок 1.7, а)
Рисунок 1.7
Для координат центра тяжести однородной линии длиной L (рисунок 1.7, б)
Способы определения координат центра тяжести
Исходя из полученных ранее общих формул, можно указать способы определения координат центров тяжести твердых тел:
1 Аналитический (путем интегрирования).
2 Метод симметрии . Если тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то его центр тяжести лежит соответственно в плоскости симметрии, оси симметрии или в центре симметрии.
3 Экспериментальный (метод подвешивания тела).
4 Разбиение . Тело разбивается на конечное число частей, для каждой из которых положение центра тяжести C и площадь S известны. Например, проекцию тела на плоскость xOy (рисунок 1.8) можно представить в виде двух плоских фигур с площадями S 1 и S 2 (S = S 1 + S 2 ). Центры тяжести этих фигур находятся в точках C 1 (x 1 , y 1 ) и C 2 (x 2 , y 2 ) . Тогда координаты центра тяжести тела равны
Рисунок 1.8
5Дополнение (метод отрицательных площадей или объемов). Частный случай способа разбиения. Он применяется к телам, имеющим вырезы, если центры тяжести тела без выреза и вырезанной части известны. Например, необходимо найти координаты центра тяжести плоской фигуры (рисунок 1.9):
Рисунок 1.9
Центры тяжести простейших фигур
Рисунок 1.10
1 Треугольник
Центр тяжести площади треугольник совпадает с точкой пересечения его медиан (рисунок 1.10, а).
DM = MB , CM = (1/3)AM .
2 Дуга окружности
Дуга имеет ось симметрии (рисунок 1.10, б). Центр тяжести лежит на этой оси, т.е. y C = 0 .
dl – элемент дуги, dl = Rdφ , R – радиус окружности, x = Rcosφ , L = 2αR ,
Следовательно:
x C = R(sinα/α) .
3 Круговой сектор
Сектор радиуса R с центральным углом 2α имеет ось симметрии Ox , на которой находится центр тяжести (рисунок 1.10, в).
Разбиваем сектор на элементарные секторы, которые можно считать треугольниками. Центры тяжести элементарных секторов располагаются на дуге окружности радиуса (2/3)R .
Центр тяжести сектора совпадает с центром тяжести дуги AB :
14. Способы задания движения точки.
При векторном способе задания движения положение точки определяется радиус-вектором, проведенным из неподвижной точки в выбранной системе отсчета.
При координатном способе задания движения задаются координаты точки как функции времени:
Это параметрические уравнения траектории движущейся точки, в которых роль параметра играет время t . Чтобы записать ее уравнение в явной форме, надо исключить из них t .
При естественном способе задания движения задаются траектория точки, начало отсчета на траектории с указанием положительного направления отсчета, закон изменения дуговой координаты: s=s(t) . Этим способом удобно пользоваться, если траектория точки заранее известна.
15. 1.2 Скорость точки
Рассмотрим перемещение точки за малый промежуток времени Δt :
средняя скорость точки за промежуток времени Dt . Скорость точки в данный момент времени
Скорость точки – это кинематическая мера ее движения, равная производной по времени от радиус-вектора этой точки в рассматриваемой системе отсчета. Вектор скорости направлен по касательной к траектории точки в сторону движения.
Определение центра тяжести произвольного тела путем последовательного сложения сил, действующих на отдельные его части,- трудная задача; она облегчается только для тел сравнительно простой формы.
Пусть тело состоит только из двух грузов массы и , соединенных стрежнем (рис. 125). Если масса стержня мала по сравнению с массами и , то ею можно пренебречь. На каждую из масс действуют силы тяжести, равные соответственно и ; обе они направлены вертикально вниз, т. е. параллельно друг другу. Как мы знаем, равнодействующая двух параллельных сил приложена в точке , которая определяется из условия
Рис. 125. Определение центра тяжести тела, состоящего из двух грузов
Следовательно, центр тяжести делит расстояние между двумя грузами в отношении, обратном отношению их масс. Если это тело подвесить в точке , оно останется в равновесии.
Так как две равные массы имеют общий центр тяжести в точке, делящей пополам расстояние между этими массами, то сразу ясно, что, например, центр тяжести однородного стержня лежит в середине стержня (рис. 126).
Поскольку любой диаметр однородного круглого диска делит его на две совершенно одинаковые симметричные части (рис. 127), то центр тяжести должен лежать на каждом диаметре диска, т. е. в точке пересечения диаметров - в геометрическом центре диска . Рассуждая сходным образом, можно найти, что центр тяжести однородного шара лежит в его геометрическом центре, центр тяжести однородного прямоугольного параллелепипеда лежит на пересечении его диагоналей и т. д. Центр тяжести обруча или кольца лежит в его центре. Последний пример показывает, что центр тяжести тела может лежать вне тела.
Рис. 126. Центр тяжести однородного стержня лежит в его середине
Рис. 127. Центр однородного диска лежит в его геометрическом центре
Если тело имеет неправильную форму или если оно неоднородно (например, в нем есть пустоты), то расчет положения центра тяжести часто затруднителен и это положение удобнее найти посредством опыта. Пусть, например, требуется найти центр тяжести куска фанеры. Подвесим его на нити (рис. 128). Очевидно, в положении равновесия центр тяжести тела должен лежать на продолжении нити, иначе сила тяжести будет иметь момент относительно точки подвеса, который начал бы вращать тело. Поэтому, проведя на нашем куске фанеры прямую, представляющую продолжение нити, можем утверждать, что центр тяжести лежит на этой прямой.
Действительно, подвешивая тело в разных точках и проводя вертикальные прямые, мы убедимся, что все они пересекутся в одной точке. Эта точка и есть центр тяжести тела (так как он должен лежать одновременно на всех таких прямых). Подобным образом можно определить положение центра тяжести не только плоской фигуры, но и более сложного тела. Положение центра тяжести самолета определяют, вкатывая его колесами на платформы весов. Равнодействующая сил веса, приходящихся на каждое колесо, будет направлена по вертикали, и найти линию, по которой она действует, можно по закону сложения параллельных сил.
Рис. 128. Точка пересечения вертикальных линий, проведенных через точки подвеса и есть центр тяжести тела
При изменении масс отдельных частей тела или при изменении формы тела положение центра тяжести меняется. Так, центр тяжести самолета перемещается при расходовании горючего из баков, при загрузке багажа и т. п. Для наглядного опыта, иллюстрирующего перемещение центра тяжести при изменении формы тела, удобно взять два одинаковых бруска, соединенных шарниром (рис. 129). В том случае, когда бруски образуют продолжение один другого, центр тяжести лежит на оси брусков. Если бруски согнуть в шарнире, то центр тяжести оказывается вне брусков, на биссектрисе угла, который они образуют. Если на один из брусков надеть дополнительный груз, то центр тяжести переместится в сторону этого груза.
Центр тяжести
геометрическая точка, неизменно связанная с твёрдым телом, через которую проходит равнодействующая всех сил тяжести, действующих на частицы этого тела при любом положении последнего в пространстве; она может не совпадать ни с одной из точек данного тела (например, у кольца). Если свободное тело подвешивать на нити, прикрепляемые последовательно к разным точкам тела, то направления этих нитей пересекутся в Ц. т. тела. Положение Ц. т. твёрдого тела в однородном поле тяжести совпадает с положением его центра масс (См. Центр масс). Разбивая тело на части с весами p k ,
для которых координаты x k , y k , z k
их Ц. т. известны, можно найти координаты Ц. т. всего тела по формулам:
Большая советская энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . 1969-1978 .
Синонимы :Смотреть что такое "Центр тяжести" в других словарях:
Центр масс (центр инерции, барицентр) в механике это геометрическая точка, характеризующая движение тела или системы частиц как целого. Содержание 1 Определение 2 Центры масс однородных фигур 3 В механике … Википедия
Неизменно связанная с твёрдым телом точка, через которую проходит равнодействующая сил тяжести, действующих на частицы этого тела при любом положении тела в пространстве. У однородного тела, имеющего центр симметрии (круг, шар, куб и т. д.),… … Энциклопедический словарь
Геом. точка, неизменно связанная с твёрдым телом, через к рую проходит равнодействующая сила всех сил тяжести, действующих на частицы тела при любом его положении в пространстве; она может не совпадать ни с одной из точек данного тела (напр., у… … Физическая энциклопедия
Неизменно связанная с твердым телом точка, через которую проходит равнодействующая сил тяжести, действующих на частицы этого тела при любом положении тела в пространстве. У однородного тела, имеющего центр симметрии (круг, шар, куб и т. д.),… … Большой Энциклопедический словарь
Центр тяжести - ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ, точка, через которую проходит равнодействующая сил тяжести, действующих на частицы твердого тела при любом положении тела в пространстве. У однородного тела, имеющего центр симметрии (круг, шар, куб и т.д.), центр тяжести находится … Иллюстрированный энциклопедический словарь
ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ, точка, в которой сконцентрирован вес тела и вокруг которой его вес распределен и уравновешен. Свободно падающий предмет вращается вокруг своего центра тяжести, в свою очередь вращающийся по траектории, которую описывал бы точечный… … Научно-технический энциклопедический словарь
центр тяжести - твёрдого тела; центр тяжести Центр параллельных сил тяжести, действующих на все частицы тела … Политехнический терминологический толковый словарь
Центроид Словарь русских синонимов. центр тяжести сущ., кол во синонимов: 12 главное (31) дух … Словарь синонимов
ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ - человеческого тела не обладает постоянным анат. расположением внутри тела, а перемещается в зависимости от измене ний позы; экскурсии его относительно позвоночника могут достигать 20 25 см. Опытное определение положения Ц. т. всего тела при… … Большая медицинская энциклопедия
Точка приложения равнодействующей сил тяжести (весов) всех отдельных частей (деталей), составляющих данное тело. Если тело симметрично относительно плоскости, прямой или точки, то в первом случае Ц. т. лежит в плоскости симметрии, во втором на… … Технический железнодорожный словарь
центр тяжести - Геометрическая точка твёрдого тела, через которую проходит равнодействующая всех сил тяжести, действующих на частицы этого тела при любом положении его в пространстве [Терминологический словарь по строительству на 12 языках (ВНИИИС Госстроя… … Справочник технического переводчика
Книги
- Центр тяжести , Поляринов А.В.. Роман Алексея Поляринова напоминает сложную систему озер. В нем и киберпанк, и величественные конструкции Дэвида Митчелла, и Борхес, и Дэвид Фостер Уоллес… Но его герои – молодые журналист,…
6.1. Общие сведения
Центр параллельных сил
Рассмотрим две параллельные, направленные в одну сторону силы , и , приложенные к телу в точках А
1
и А
2
(рис.6.1). Эта система сил имеет равнодействующую , линия действия которой проходит через некоторую точку С
. Положение точки С
можно найти с помощью теоремы Вариньона:
Если повернуть силы и около точек А
1
и А
2
в одну сторону и на один и тот же угол, то получим новую систему параллельных сал, имеющих те же модули. При этом их равнодействующая будет также проходить через точку С
. Такая точка называется центром параллельных сил.
Рассмотрим систему параллельных и одинаково направленных сил , приложенных к твердому телу в точках . Эта система имеет равнодействующую .
Если каждую силу системы повернуть около точек их приложения в одну и ту же сторону и на один и тот же угол, то получатся новые системы одинаково направленных параллельных сил с теми же модулями и точками приложения. Равнодействующая таких систем будет иметь тот же модуль R
, но всякий раз другое направление. Сложив силы F
1
и F
2
найдем что их равнодействующая R
1
, которая всегда будет проходить через точку С
1
, положение которой определяется равенством . Сложив далее R
1
и F
3
, найдем их равнодействующую, которая всегда будет проходить через точку С
2
, лежащую на прямой А
3
С
2
. Доведя процесс сложения сил до конца придем к выводу, что равнодействующая всех сил действительно всегда будет проходить через одну и ту же точку С
, положение которой по отношению к точкам будет неизменным.
Точка С
, через которую проходит линия действия равнодействующей системы параллельных сил при любых поворотах этих сил около точек их приложения в одну и ту же сторону на один и тот же угол называется центром параллельных сил (рис. 6.2).
Рис.6.2
Определим координаты центра параллельных сил. Поскольку положение точки С по отношению к телу является неизменным, то ее координаты от выбора системы координат не зависят. Повернем все силы около их приложения так, чтобы они стали параллельны оси Оу и применим к повернутым силам теорему Вариньона. Так как R" является равнодействующей этих сил, то, согласно теореме Вариньона, имеем , т.к. , , получим
Отсюда находим координату центра параллельных сил zc :
Для определения координаты xc составим выражение момента сил относительно оси Oz .
Для определения координаты yc повернем все силы, чтобы они стали параллельны оси Oz .
Положение центра параллельных сил относительно начала координат (рис. 6.2) можно определить его радиусом-вектором:
6.2. Центр тяжести твердого тела
Центром тяжести
твердого тела называется неизменно связанная с этим телом точка С
, через которую проходит линия действия равнодействующей сил тяжести данного тела, при любом положении тела в пространстве.
Центр тяжести применяется при исследовании устойчивости положений равновесия тел и сплошных сред, находящихся под действием сил тяжести и в некоторых других случаях, а именно: в сопротивлении материалов и в строительной механике - при использовании правила Верещагина.
Существуют два способа определения центра тяжести тела: аналитический и экспериментальный. Аналитический способ определения центра тяжести непосредственно вытекает из понятия центра параллельных сил.
Координаты центра тяжести, как центра параллельных сил, определяются формулами:
где Р
- вес всего тела; pk
- вес частиц тела; xk
, yk
, zk
- координаты частиц тела.
Для однородного тела вес всего тела и любой её части пропорционален объёму P=Vγ
, pk
=vk
γ
, где γ
- вес единицы объёма, V
- объем тела. Подставляя выражения P
, pk
в формулы определения координат центра тяжести и, сокращая на общий множитель γ
, получим:
Точка С
, координаты которой определяются полученными формулами, называется центром тяжести объема
.
Если тело представляет собой тонкую однородную пластину, то центр тяжести определяется формулами:
где S
- площадь всей пластины; sk
- площадь её части; xk
, yk
- координаты центра тяжести частей пластины.
Точка С
в данном случае носит название центра тяжести площади
.
Числители выражений, определяющих координаты центра тяжести плоских фигур, называются статическими моментами площади
относительно осей у
и х
:
Тогда центр тяжести площади можно определить по формулам:
Для тел, длина которых во много раз превышает размеры поперечного сечения, определяют центр тяжести линии. Координаты центра тяжести линии определяют формулами:
где L - длина линии; lk - длина ее частей; xk , yk , zk - координата центра тяжести частей линии.
6.3. Способы определения координат центров тяжести тел
Основываясь на полученных формулах, можно предложить практические способы определения центров тяжести тел.
1. Симметрия
. Если тело имеет центр симметрии, то центр тяжести находится в центре симметрии.
Если тело имеет плоскость симметрии. Например, плоскость ХОУ, то центр тяжести лежит в этой плоскости.
2. Разбиение
. Для тел, состоящих из простых по форме тел, используется способ разбиения. Тело разбивается на части, центр тяжести которых находится методом симметрии. Центр тяжести всего тела определяется по формулам центра тяжести объема (площади).
Пример . Определить центр тяжести пластины, изображенной на помещенном ниже рисунке (рис. 6.3). Пластину можно разбить на прямоугольники различным способом и определить координаты центра тяжести каждого прямоугольника и их площади.
Рис.6.3
Ответ: x c =17.0см; y c =18.0см.
3. Дополнение . Этот способ является частным случаем способа разбиения. Он используется, когда тело имеет вырезы, срезы и др., если координаты центра тяжести тела без выреза известны.
Пример . Определить центр тяжести круглой пластины имеющий вырез радиусом r = 0,6 R (рис. 6.4).
Рис.6.4
Круглая пластина имеет центр симметрии. Поместим начало координат в центре пластины. Площадь пластины без выреза , площадь выреза . Площадь пластины с вырезом ; .
Пластина с вырезом имеет ось симметрии О1
x
, следовательно, yc
=0.
4. Интегрирование
. Если тело нельзя разбить на конечное число частей, положение центров тяжести которых известны, тело разбивают на произвольные малые объемы , для которых формула с использованием метода разбиения принимает вид: .
Далее переходят к пределу, устремляя элементарные объемы к нулю, т.е. стягивая объемы в точки. Суммы заменяют интегралами, распространенными на весь объем тела, тогда формулы определения координат центра тяжести объема принимают вид:
Формулы для определения координат центра тяжести площади:
Координаты центра тяжести площади необходимо определять при изучении равновесия пластинок, при вычислении интеграла Мора в строительной механике.
Пример . Определить центр тяжести дуги окружности радиуса R с центральным углом АОВ = 2α (рис. 6.5).
Рис. 6.5
Дуга окружности симметрична оси Ох
, следовательно, центр тяжести дуги лежит на оси Ох
, yс
= 0.
Согласно формуле для центра тяжести линии:
6. Экспериментальный способ
. Центры тяжести неоднородных тел сложной конфигурации можно определять экспериментально: методом подвешивания и взвешивания. Первый способ состоит в том, что тело подвешивается на тросе за различные точки. Направление троса на котором подвешено тело, будет давать направление силы тяжести. Точка пересечения этих направлений определяет центр тяжести тела.
Метод взвешивания состоит в том, что сначала определяется вес тела, например автомобиля. Затем на весах определяется давление заднего моста автомобиля на опору. Составив уравнение равновесия относительно какой- либо точки, например оси передних колес, можно вычислить расстояние от этой оси до центра тяжести автомобиля (рис. 6.6).
Рис.6.6
Иногда при решении задач следует применять одновременно разные методы определения координат центра тяжести.
6.4. Центры тяжести некоторых простейших геометрических фигур
Для определения центров тяжести тел часто встречающейся формы (треуголника, дуги окружности, сектора, сегмента) удобно использовать справочные данные (табл. 6.1).
Таблица 6.1
Координаты центра тяжести некоторых однородных тел
№ |
Наименование фигуры |
Рисунок |
Дуга окружности : центр тяжести дуги однородной окружности находится на оси симметрии (координата уc =0). R - радиус окружности. |
||
Однородный круговой сектор уc =0). где α - половина центрального угла; R - радиус окружности. |
||
Сегмент : центр тяжести расположен на оси симметрии (координата уc =0). где α - половина центрального угла; R - радиус окружности. |
||
Полукруг : |
||
Треугольник : центр тяжести однородного треугольника находится в точке пересечения его медиан. где x1 , y1 , x2 , y2 , x3 , y3 - координаты вершин треугольника |
|
|
Конус : центр тяжести однородного кругового конуса лежит на его высоте и отстоит на расстояние 1/4 высоты от основания конуса. |