Решение систем уравнений 3 порядка. Метод крамера решения систем линейных уравнений. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
В § 3.3 были показаны ограничения, возникающие при слежении за сигналами изменяющейся частоты при помощи системы второго порядка. Рассмотрим теперь возможность смягчения некоторых из этих ограничений путем введения в систему второго интегратора. Оказывается, что процесс захвата для системы третьего порядка менее устойчив, чем для системы второго порядка, но при помощи второго интегратора можио расширить диапазон слежения за системой, которая в начальный момент была уже захвачена. Передаточная функция фильтра теперь имеет вид
и из (3.1) следует:
После подстановки это выражение приводится к виду
Нормируя и вводя обозначения получим
Обычный метод фазовой плоскости неприменим к дифференциальным уравнениям третьего порядка вследствие того, что в этом случае имеются три начальных условия, соответствующие трем переменным: фазе, частоте и скорости изменения частоты (в механических системах - смещению, скорости и ускорению). В принципе траектории, определяемые уравнением третьего порядка, можно было бы представить в трехмерном пространстве. Всякая же попытка спроектировать эти траектории для J множества начальных условий на плоскость привела бы к столь запутанной диаграмме, что из нее было бы невозможно сделать какие-либо общие заключения.
С другой стороны, если ограничиться одной совокупностью начальных условий, то можно получить проекцию траектории на плоскость . Особое значение представляет следующая совокупность начальных условий: Другими словами, система в начальный момент захвачена, так что ошибки по частоте и фазе равны нулю, когда опорная частота начинает линейно изменяться.
Легко изменить структуру аналоговоговычислительного устройства, чтобы учесть введение второго интегратора.
Рис. 3.19. Проекции траекторий в фазовом пространстве для петли третьего порядка
(см. скан)
На рис. 3.19 изображен ряд траекторий, спроектированных на плоскость . Во всех рассмотренных случаях так что . В гипотетическом трехмерном «фазовом пространстве» траектории начинаются в точке и заканчиваются на оси
На рис. 3.19, а показано поведение системы второго порядка при таких же начальных условиях. Окончательное, или установившееся, значение фазы равно как было показано в § 3.3. Введение второго интегратора приводит к уменьшению установившейся ошибки по фазе до нуля тем быстрее, чем больше При возрастании наибольшая ошибка по фазе также уменьшается, однако за счет уменьшения затухания системы, что приводит к увеличению среднеквадратичной ошибки по фазе (см. рис. 3.19, б - 3.19, ж). Наконец, при система становится неустойчивой.
Получаемое путем увеличения порядка системы улучшение иллюстрируется на рис. 3.20. Здесь как и прежде, но . В § 3.3 было показано, что при такой или большей быстроте линейного изменения частоты система не могла осуществлять слежение. Рис. 3.20, а подтверждает это обстоятельство. С другой стороны, даже при наименьшей степени влияния второго интегратора получается нулевая установившаяся ошибка по фазе. Наибольшее мгновенное значение фазового рассогласования уменьшается при увеличении коэффициента но при система вновь делается неустойчивой.
Аналогичные особенности видны на рис. 3.21-3.23, за исключением того обстоятельства, что при возрастании отношения для поддержания системы в состоянии захвата требуются все возрастающие значения коэффициента В конце концов при приближении отношения к 2 или при необходимо, чтобы было около 1/2. Но из рис. 3.19, ж - 3.23, з видно, что при этом значении система неустойчива. Диапазон значений коэффициента при которых система остается в состоянии захвата в зависимости от отношения представлен на рис. 3.24-3.26 при значениях соответственно. Заштрихована область допустимых значений коэффициента Видно, что при линейном изменении частоты введение системы третьего порядка позволило расширить Диапазон, при котором получается слежение, примерно
Рис. 3.20. Проекции траекторий в фазовом пространстве для петли третьего порядка
(см. скан)
Рис. 3.21. Проекции траекторий в фазовом пространстве для петли третьего порядка
(см. скан)
Рис. 3.22. Проекции траекторий в фазовом пространстве для петли третьего порядка
(см. скан)
Рис. 3.23. Проекции траекторий в фазовом пространстве для петли третьего порядка
(см. скан)
Рис. 3.24. Область состояния захвата системы третьегопорядка
Рис. 3.25. Область состояния захвата системы третьего порядка
Рис. 3.26. Область состояния захвата системы третьего порядка
вдвое больше по сравнению с системой второго порядка при и даже еще большее при меньших значениях
Можно теоретически объяснить колебательный характер изменения коэффициента b при его значениях около или более 1/2. Продифференцировав уравнение (3.41), получим
Рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными
Используя определители 3-го порядка, решение такой системы можно записать в таком же виде, как и для системы двух уравнений, т.е.
(2.4)
если 0. Здесь
Это есть правило Крамера решения системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными .
Пример 2.3. Решить систему линейных уравнений при помощи правила Крамера:
Решение . Находим определитель основной матрицы системы
Поскольку 0, то для нахождения решения системы можно применить правило Крамера, но предварительно вычислим еще три определителя:
Проверка:
Следовательно, решение найдено правильно.
Правила Крамера, полученные для линейных систем 2-го и 3-го порядка, наводят на мысль, что такие же правила можно сформулировать и для линейных систем любого порядка. Действительно имеет место
Теорема Крамера. Квадратная система линейных уравнений с отличным от нуля определителем основной матрицы системы (0) имеет одно и только одно решение и это решение вычисляется по формулам
(2.5)
где – определитель основной матрицы , i – определитель матрицы , полученной из основной, заменой i -го столбца столбцом свободных членов .
Отметим, что если =0, то правило Крамера не применимо. Это означает, что система либо не имеет вообще решений, либо имеет бесконечно много решений.
Сформулировав теорему Крамера, естественно возникает вопрос о вычислении определителей высших порядков.
2.4. Определители n-го порядка
Дополнительным минором M ij элемента a ij называется определитель, получаемый из данного путем вычеркивания i -й строки и j -го столбца. Алгебраическим дополнением A ij элемента a ij называется минор этого элемента, взятого со знаком (–1) i + j , т.е. A ij = (–1) i + j M ij .
Например, найдем миноры и алгебраические дополнения элементов a 23 и a 31 определителя
Получаем
Используя понятие алгебраического дополнения можно сформулировать теорему о разложении определителя n -го порядка по строке или столбцу .
Теорема 2.1. Определитель матрицы A равен сумме произведений всех элементов некоторой строки (или столбца) на их алгебраические дополнения:
(2.6)
Данная теорема лежит в основе одного из основных методов вычисления определителей, т.н. метода понижения порядка . В результате разложения определителя n -го порядка по какой-либо строке или столбцу, получается n определителей (n –1)-го порядка. Чтобы таких определителей было меньше, целесообразно выбирать ту строку или столбец, в которой больше всего нулей. На практике формулу разложения определителя обычно записывают в виде:
т.е. алгебраические дополнения записывают в явном виде через миноры.
Примеры 2.4. Вычислить определители, предварительно разложив их по какой-либо строке или столбцу. Обычно в таких случаях выбирают такой столбец или строку, в которой больше всего нулей. Выбранную строку или столбец будем обозначать стрелкой.
2.5. Основные свойства определителей
Разлагая определитель по какой-либо строке или столбцу, мы получим n определителей (n –1)-го порядка. Затем каждый из этих определителей (n –1)-го порядка также можно разложить в сумму определителей (n –2)-го порядка. Продолжая этот процесс, можно дойти до определителей 1-го порядка, т.е. до элементов матрицы, определитель которой вычисляется. Так, для вычисления определителей 2-го порядка придется вычислить сумму двух слагаемых, для определителей 3-го порядка – сумму 6 слагаемых, для определителей 4-го порядка – 24 слагаемых. Число слагаемых будет резко возрастать по мере увеличения порядка определителя. Это означает, что вычисление определителей очень высоких порядков становится довольно трудоемкой задачей, непосильной даже для ЭВМ. Однако вычислять определители можно и по-другому, используя свойства определителей.
Свойство 1 . Определитель не изменится, если в нем поменять местами строки и столбцы, т.е. при транспонировании матрицы :
.
Данное свойство свидетельствует о равноправии строк и столбцов определителя. Иначе говоря, любое утверждение о столбцах определителя справедливо и для его строк и наоборот.
Свойство 2 . Определитель меняет знак при перестановке двух строк (столбцов).
Следствие . Если определитель имеет две одинаковые строки (столбца), то он равен нулю.
Свойство 3 . Общий множитель всех элементов в какой-либо строке (столбце) можно вынести за знак определителя .
Например,
Следствие . Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю .
Свойство 4 . Определитель не изменится, если к элементам одной строки (столбца), прибавить элементы другой строки (столбца), умноженной на какое-либо число .
Например,
Свойство 5 . Определитель произведения матриц равен произведению определителей матриц:
Практическая работа
«Решение систем линейных уравнений третьего порядка методом Крамера»
Цели работы:
расширить представление о методах решения СЛУ и отработать алгоритм решения СЛУ методом Крамора;
развивать логическое мышление студентов, умение находить рациональное решение задачи;
воспитывать у студентов аккуратность и культуру письменной математической речи при оформлении ими своего решения.
Основной теоретический материал.
Метод Крамера. Применение для систем линейных уравнений.
Задана система N линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с неизвестными, коэффициентами при которых являются элементы матрицы , а свободными членами - числа
Первый индекс возле коэффициентов указывает в каком уравнении находится коэффициент, а второй - при котором из неизвестным он находится.
Если определитель матрицы не равен нулю
то система линейных алгебраических уравнений имеет единственное решение. Решением системы линейных алгебраических уравнений называется такая упорядоченная совокупность чисел , которая при превращает каждое из уравнений системы в правильную равенство. Если правые части всех уравнений системы равны нулю, то систему уравнений называют однородной. В случае, когда некоторые из них отличны от нуля – неоднородной Если система линейных алгебраических уравнений имеет хоть одно решение, то она называется совместной, в противном случае - несовместимой. Если решение системы единственное, то система линейных уравнений называется определенной. В случае, когда решение совместной системы не единственное, систему уравнений называют неопределенной. Две системы линейных уравнений называются эквивалентными (или равносильными), если все решения одной системы является решениями второй, и наоборот. Эквивалентны (или равносильны) системы получаем с помощью эквивалентных преобразований.
Эквивалентные преобразования СЛАУ
1) перестановка местами уравнений;
2) умножение (или деление) уравнений на отличное от нуля число;
3) добавление к некоторого уравнения другого уравнения, умноженного на произвольное, отличное от нуля число.
Решение СЛАУ можно найти разными способами, например, по формулам Крамера (метод Крамера)
Теорема Крамера. Если определитель системы линейных алгебраических уравнений с неизвестными отличен от нуля то эта система имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера: - определители, образованные с заменой -го столбца, столбцом из свободных членов.
Если , а хотя бы один из отличен от нуля, то СЛАУ решений не имеет. Если же , то СЛАУ имеет множество решений.
Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Решить систему методом Крамера
Решение.
Найдем определитель матрицы коэффициентов при неизвестных
Так как , то заданная система уравнений совместная и имеет единственное решение. Вычислим определители:
По формулам Крамера находим неизвестные
Итак единственное решение системы.
Дана система четырех линейных алгебраических уравнений. Решить систему методом Крамера.
Найдем определитель матрицы коэффициентов при неизвестных. Для этого разложим его по первой строке.
Найдем составляющие определителя:
Подставим найденные значения в определитель
Детерминант , следовательно система уравнений совместная и имеет единственное решение. Вычислим определители по формулам Крамера:
Критерии оценивания:
Работа оценивается на «3»,если: самостоятельно полностью и верно решена одна из систем.
Работа оценивается на «4»,если: самостоятельно полностью и верно решены любые две системы.
Работа оценивается на «5»,если: самостоятельно полностью и верно решены три системы.
КОСТРОМСКОЙ ФИЛИАЛ ВОЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА РХБ ЗАЩИТЫ
Кафедра «Автоматизации управления войсками»
Только для преподавателей
"Утверждаю"
Начальник кафедры № 9
полковник ЯКОВЛЕВ А.Б.
«____»______________ 2004 г.
доцент А.И.СМИРНОВА
"ОПРЕДЕЛИТЕЛИ.
РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ"
ЛЕКЦИЯ № 2 / 1
Обсуждено на заседании кафедры № 9
«____»___________ 2004г.
Протокол № ___________
Кострома, 2004.
Введение
1. Определители второго и третьего порядка.
2. Свойства определителей. Теорема разложения.
3. Теорема Крамера.
Заключение
Литература
1. В.Е. Шнейдер и др., Краткий курс высшей математики, том I, гл. 2, п.1.
2. В.С. Щипачев, Высшая математика, гл.10, п.2.
ВВЕДЕНИЕ
На лекции рассматриваются определители второго и третьего порядков, их свойства. А также теорема Крамера, позволяющая решать системы линейных уравнений с помощью определителей. Определители используются также в дальнейшем в теме "Векторная алгебра" при вычислении векторного произведения векторов.
1-ый учебный вопросОПРЕДЕЛИТЕЛИ ВТОРОГО И ТРЕТЬЕГО
ПОРЯДКА
Рассмотрим таблицу из четырех чисел вида
Числа в таблице обозначены буквой с двумя индексами. Первый индекс указывает номер строки, второй – номер столбца.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Определителем второго порядка называют выражение вида :
(1)Числа а 11, …, а 22 называют э л е м е т а м и определителя.
Диагональ, образованная элементами а 11 ; а 22 называется г л а в н ой, а диагональ, образованная элементами а 12 ; а 21 -п о б о ч н ой.
Таким образом, определитель второго порядка равен разности произведений элементов главной и побочной диагоналей.
Заметим, что в ответе получается число.
ПРИМЕРЫ. Вычислить:
Рассмотрим теперь таблицу из девяти чисел, записанных в три строки и три столбца:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Определителем третьего порядка называется выражение вида :
Элементы а 11; а 22 ; а 33 – образуют главную диагональ.
Числа а 13; а 22 ; а 31 – образуют побочную диагональ.
Изобразим, схематически, как образуются слагаемые с плюсом и с минусом:
" + " " – "С плюсом входят: произведение элементов на главной диагонали, остальные два слагаемых являются произведением элементов, расположенных в вершинах треугольников с основаниями, параллельными главной диагонали.
Слагаемые с минусом образуются по той же схеме относительно побочной диагонали.
Это правило вычисления определителя третьего порядка называют
п р а в и л о м т р е у г о л ь н и к о в.
ПРИМЕРЫ. Вычислить по правилу треугольников:
ЗАМЕЧАНИЕ. Определители называют также д е т е р м и н а н т а м и.
2-ой учебный вопросСВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ.
ТЕОРЕМА РАЗЛОЖЕНИЯ
Свойство 1. Величина определителя не изменится, если его строки поменять местами с соответствующими столбцами.
.Раскрывая оба определителя, убеждаемся в справедливости равенства.
Свойство 1 устанавливает равноправность строк и столбцов определителя. Поэтому все дальнейшие свойства определителя будем формулировать и для строк и для столбцов.
Свойство 2. При перестановке двух строк (или столбцов) определитель изменяет знак на противоположный, сохраняя абсолютную величину .
.Свойство 3. Общий множитель элементов строки (или столбца ) можно выносить за знак определителя.
.Свойство 4. Если определитель имеет две одинаковые строки (или столбца), то он равен нулю.
Это свойство можно доказать непосредственной проверкой, а можно использовать свойство 2.
Обозначим определитель за D. При перестановке двух одинаковых первой и второй строк он не изменится, а по второму свойству он должен поменять знак, т.е.
D = - DÞ 2 D = 0 ÞD = 0.
Свойство 5. Если все элементы какой–то строки (или столбца ) равны нулю, то определитель равен нулю.
Это свойство можно рассматривать как частный случай свойства 3 при
Свойство 6. Если элементы двух строк (или столбцов ) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.
.Можно доказать непосредственной проверкой или с использованием свойств 3 и 4.
Свойство 7. Величина определителя не изменится, если к элементам какой-либо строки (или столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и то же число.
.Доказывается непосредственной проверкой.
Применение указанных свойств может в ряде случаев облегчить процесс вычисления определителей, особенно третьего порядка.
Для дальнейшего нам понадобится понятия минора и алгебраического дополнения. Рассмотрим эти понятия для определения третьего порядка.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Минором данного элемента определителя третьего порядка называется определитель второго порядка, полученный из данного вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.
Минор элемента а i j обозначается М i j . Так для элемента а 11 минор
Он получается, если в определителе третьего порядка вычеркнуть первую строку и первый столбец.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Алгебраическим дополнением элемента определителя называют его минор, умноженный на (-1) k , где k - сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.
Алгебраическое дополнение элемента а i j обозначается А i j .
Таким образом, А i j =
.Выпишем алгебраические дополнения для элементов а 11 и а 12.
. .Полезно запомнить правило: алгебраическое дополнение элемента определителя равно его минору со знаком плюс , если сумма номеров строки и столбца, в которых стоит элемент, четная, и со знаком минус , если эта сумма нечетная .
ПРИМЕР. Найти миноры и алгебраические дополнения для элементов первой строки определителя:
Ясно, что миноры и алгебраические дополнения могут отличаться только знаком.
Рассмотрим без доказательства важную теорему – теорему разложения определителя.
ТЕОРЕМА РАЗЛОЖЕНИЯ
Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки или столбца на их алгебраические дополнения.
Используя эту теорему, запишем разложение определителя третьего порядка по первой строке.
.В развернутом виде:
.Последнюю формулу можно использовать как основную при вычислении определителя третьего порядка.
Теорема разложения позволяет свести вычисление определителя третьего порядка к вычислению трех определителей второго порядка.
Теорема разложения дает второй способ вычисления определителей третьего порядка.
ПРИМЕРЫ. Вычислить определитель, используя теорему разложения.
Курсовая: Определители и системы линейных уравнений
1. Определители второго и третьего порядков и их свойства
1.1. Понятие матрицы и определителя второго порядка
Прямоугольную таблицу из чисел,
матрицей. Для обозначения матрицы используют либо сдвоенные вертикальные
черточки, либо круглые скобки. Например:
1 7 9.2 1 7 9.2
28 20 18 28 20 18
6 11 2 -6 11 2
Если число строк матрицы совпадает с числом ее столбцов, то матрица называется
квадратной. Числа, входящие в состав матрицы, называют ее элементами .
Рассмотрим квадратную матрицу, состоящую из четырех элементов:
Определителем второго порядка, соответствующим матрице (3.1), называется число,
и обозначаемое символом
Итак, по определению
Элементы, составляющие матрицу данного определителя, обычно называют
элементами этого определителя.
Справедливо следующее утверждение: для того чтобы определитель второго
порядка был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы элементы его строк (или
соответственно его столбцов) были пропорциональны .
Для доказательства этого утверждения достаточно заметить, что каждая из
пропорций /
эквивалентна равенству
А последнее равенство в силу (3.2) эквивалентно обращению в нуль определителя.
1.2. Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными
Покажем, как применяются определители второго порядка для исследования и
отыскания решений системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными
(коэффициенты ,
и свободные члены ,
считаются при этом заданными). Напомним, что пара чисел
Называется
решением системы (3.3), если подстановка этих чисел на место
и в данную систему
обращает оба уравнения (3.3) в тождества.
Умножая первое уравнение системы (3.3) на -
А второе - на -и
затем складывая полученные при этом равенства, получим
Аналогично путем умножения уравнений (3.3) на -исоответственно получим:
Введем следующие обозначения:
С помощью этих обозначений и выражения для определителя второго порядка
уравнения (3.4) и (3.5) могут быть переписаны в виде:
Определитель ,
составленный из коэффициентов при неизвестных системы (3.3), принято называть
определителем этой системы . Заметим, что определители
и получаются из
определителя системы
посредством замены его первого или соответственно второго столбца свободными
Могут представиться два случая: 1) определитель системы
отличен от нуля; 2) этот определитель равен нулю.
Рассмотрим сначала случай
0. Из уравнений (3.7) мы сразу же получаем формулы для неизвестных,
называемые формулами Крамера :
Полученные формулы Крамера (3.8) дают решение системы (3.7) и потому доказывают
единственность решения исходной системы (3.3). В самом деле, система (3.7)
является следствием системы (3.3), поэтому всякое решение системы (3.3) (в
случае, если оно существует!) должно являться решением и системы (3.7). Итак,
пока доказано, что если у исходной системы (3.3) существует при
0 решение, то это решение однозначно определяется формулами Крамера (3.8).
Легко убедиться и в существовании решения, т. е. в том. что при
0 два числа и
Определяемые формулами Крамера (3.8). будучи поставлены на место неизвестных в
уравнения (3.3), обращают эти уравнения в тождества. (Предоставляем читателю
самому расписать выражения для определителей
И убедиться в справедливости указанных тождеств.)
Мы приходим к следующему выводу: если определитель
системы (3.3) отличен от нуля, то существует, и притом единственное решение этой
системы, определяемое формулами Крамера (3.8).
Рассмотрим теперь случай, когда определитель
системы равен нулю . Могут представиться два подслучая : а) хотя
бы один из определителей
или , отличен от
нуля; б) оба определителя
и равны нулю. (если
определитель и
один из двух определителей
и равны нулю, то и
другой из указанных двух определителей равен нулю. В самом деле, пусть,
например = 0
Тогда из этих пропорций получим, что
В подслучае а) оказывается невозможным хотя бы одно из равенств (3.7), т. е.
система (3.7) не имеет решений, а поэтому не имеет решений и исходная система
(3.3) (следствием которой является система (3.7)).
В подслучае б) исходная система (3.3) имеет бесчисленное множество решений. В
самом деле, из равенств
0 и из утверждения в конце разд. 1.1 заключаем, что второе уравнение системы
(3.3) является следствием первого и его можно отбросить. Но одно уравнение с
двумя неизвестными
имеет бесконечно много решений (хотя бы один из коэффициентов
Или отличен от
нуля, и стоящее при нем неизвестное может быть определено из уравнения (3.9)
через произвольно заданное значение другого неизвестного).
Таким образом, если определитель
системы (3.3) равен нулю, то система (3.3) либо вовсе не имеет решений (в
случае, если хотя бы один из определителей
или отличен от
нуля), либо имеет бесчисленное множество решений (в случае, когда
0). В последнем
случае два уравнения (3.3) можно заменить одним и при решении его одно
неизвестное задавать произвольно.
Замечание . В случае, когда свободные члены
и равны нулю,
линейная система (3.3) называется однородной . Отметим, что однородная
система всегда имеет так называемое тривиальное решение:
0, = 0 (эти два
числа обращают оба однородных уравнения в тождества).
Если определитель однородной системы
отличен от нуля, то эта система имеет только тривиальное решение. Если же
= 0, то однородная система имеет бесчисленное множество решений (поскольку
для однородной системы возможность отсутствия решений исключена). Таким
образом, однородная система имеет нетривиальное решение в том и только в
том случае, когда определитель ее равен нулю.