Свойства функций непрерывных на отрезке. Наибольшее и наименьшее значение функции. Наибольшее и наименьшее значение функции - определения, иллюстрации
На рисунках ниже показано, где функция может достигать наименьшего и наибольшего значения. На левом рисунке наименьшее и наибольшее значения зафиксированы в точках локального минимума и максимума функции. На правом рисунке - на концах отрезка.
Если функция y = f (x ) непрерывна на отрезке [a , b ] , то она достигает на этом отрезке наименьшего и наибольшего значений . Это, как уже говорилось, может произойти либо в точках экстремума , либо на концах отрезка. Поэтому для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции , непрерывной на отрезке [a , b ] , нужно вычислить её значения во всех критических точках и на концах отрезка, а затем выбрать из них наименьшее и наибольшее.
Пусть, например, требуется определить наибольшее значение функции f (x ) на отрезке [a , b ] . Для этого следует найти все её критические точки, лежащие на [a , b ] .
Критической точкой называется точка, в которой функция определена , а её производная либо равна нулю, либо не существует. Затем следует вычислить значения функции в критических точках. И, наконец, следует сравнить между собой по величине значения функции в критических точках и на концах отрезка (f (a ) и f (b ) ). Наибольшее из этих чисел и будет наибольшим значением функции на отрезке [a , b ] .
Аналогично решаются и задачи на нахождение наименьших значений функции .
Ищем наименьшее и наибольшее значения функции вместе
Пример 1. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [-1, 2] .
Решение. Находим производную данной функции . Приравняем производную нулю () и получим две критические точки: и . Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке достаточно вычислить её значения на концах отрезка и в точке , так как точка не принадлежит отрезку [-1, 2] . Эти значения функции - следующие: , , . Из этого следует, что наименьшее значение функции (на графике ниже обозначено красным), равное -7, достигается на правом конце отрезка - в точке , а наибольшее (тоже красное на графике), равно 9, - в критической точке .
Если функция непрерывна в некотором промежутке и этот промежуток не является отрезком (а является, например, интервалом; разница между интервалом и отрезком: граничные точки интервала не входят в интервал, а граничные точки отрезка входят в отрезок), то среди значений функции может и не быть наименьшего и наибольшего. Так, например, функция, изображённая на рисунке ниже, непрерывна на ]-∞, +∞[ и не имеет наибольшего значения.
Однако для любого промежутка (закрытого, открытого или бесконечного) справедливо следующее свойство непрерывных функций.
Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться онлайн калькулятором производных .
Пример 4. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [-1, 3] .
Решение. Находим производную данной функции как производную частного:
.
Приравниваем производную нулю, что даёт нам одну критическую точку: . Она принадлежит отрезку [-1, 3] . Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке находим её значения на концах отрезка и в найденной критической точке:
Сравниваем эти значения. Вывод: , равного -5/13, в точке и наибольшего значения , равного 1, в точке .
Продолжаем искать наименьшее и наибольшее значения функции вместе
Есть преподаватели, которые по теме нахождения наименьшего и наибольшего значений функции не дают студентам для решения примеры сложнее только что рассмотренных, то есть таких, в которых функция - многочлен либо дробь, числитель и знаменатель которой - многочлены. Но мы не ограничимся такими примерами, поскольку среди преподавателей бывают любители заставить студентов думать по полной (таблице производных). Поэтому в ход пойдут логарифм и тригонометрическая функция.
Пример 8. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке .
Решение. Находим производную данной функции как производную произведения :
Приравниваем производную нулю, что даёт одну критическую точку: . Она принадлежит отрезку . Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке находим её значения на концах отрезка и в найденной критической точке:
Результат всех действий: функция достигает наименьшего значения , равного 0, в точке и в точке и наибольшего значения , равного e ² , в точке .
Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться онлайн калькулятором производных .
Пример 9. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке .
Решение. Находим производную данной функции:
Приравниваем производную нулю:
Единственная критическая точку принадлежит отрезку . Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке находим её значения на концах отрезка и в найденной критической точке:
Вывод: функция достигает наименьшего значения , равного , в точке и наибольшего значения , равного , в точке .
В прикладных экстремальных задачах нахождение наименьшего (наибольшего) значений функции, как правило, сводится к нахождению минимума (максимума). Но больший практический интерес имеют не сами минимумы или максимумы, а те значения аргумента, при которых они достигаются. При решении прикладных задач возникает дополнительная трудность - составление функций, описывающих рассматриваемое явление или процесс.
Пример 10. Резервуар ёмкостью 4 , имеющий форму параллелепипеда с квадратным основанием и открытый сверху, нужно вылудить оловом. Каковы должны быть размеры резервуара, чтобы на его покрытие ушло наименьшее количество материала?
Решение. Пусть x - сторона основания, h - высота резервуара, S - площадь его поверхности без крышки, V - его объём. Площадь поверхности резервуара выражается формулой , т.е. является функцией двух переменных . Чтобы выразить S как функцию одной переменной, воспользуемся тем, что , откуда . Подставив найденное выражение h в формулу для S :
Исследуем эту функцию на экстремум. Она определена и дифференцируема всюду в ]0, +∞[ , причём
.
Приравниваем производную нулю () и находим критическую точку . Кроме того, при производная не существует, но это значение не входит в область определения и поэтому не может быть точкой экстремума. Итак, - единственная критическая точка. Проверим её на наличие экстремума, используя второй достаточный признак. Найдём вторую производную . При вторая производная больше нуля (). Значит, при функция достигает минимума . Поскольку этот минимум - единственный экстремум данной функции, он и является её наименьшим значением . Итак, сторона основания резервуара должна быть равна 2 м, а его высота .
Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться
Определение 3 . 3 Пусть -- некоторая функция, -- её область определения и -- некоторый (открытый) интервал (может быть, с и/или ) 7 . Назовём функцию непрерывной на интервале , если непрерывна в любой точке , то есть для любого существует (в сокращённой записи:
Пусть теперь -- (замкнутый) отрезок в . Назовём функцию непрерывной на отрезке , если непрерывна на интервале , непрерывна справа в точке и непрерывна слева в точке , то есть
Пример 3 . 13 Рассмотрим функцию (функция Хевисайда ) на отрезке , . Тогда непрерывна на отрезке (несмотря на то, что в точке она имеет разрыв первого рода).
Рис.3.15.График функции Хевисайда
Аналогичное определение можно дать и для полуинтервалов вида и , включая случаи и . Однако можно обобщить данное определение на случай произвольного подмножества следующим образом. Введём сначала понятие индуцированной на базы: пусть -- база, все окончания которой имеют непустые пересечения с . Обозначим через и рассмотрим множество всех . Нетрудно тогда проверить, что множество будет базой. Тем самым для определены базы , и , где , и -- базы непроколотых двусторонних (соответственно левых, правых) окрестностей точки (их определение см. в начале текущей главы).
Определение 3 . 4 Назовём функцию непрерывной на множестве , если
Нетрудно видеть, что тогда при и при это определение совпадает с теми, что были выше даны специально для интервала и отрезка.
Напомним, что все элементарные функции непрерывны во всех точках своих областей определения и, следовательно, непрерывны на любых интервалах и отрезках, лежащих в их областях определения.
Поскольку непрерывность на интервале и отрезке определяется поточечно, имеет место теорема, которая является непосредственным следствием теоремы 3.1:
Теорема 3 . 5 Пусть и -- функции и -- интервал или отрезок, лежащий в . Пусть и непрерывны на . Тогда функции , , непpеpывны на . Если вдобавок пpи всех , то функция также непpеpывна на .
Из этой теоpемы вытекает следующее утвеpждение, точно так же, как из теоpемы 3.1 -- пpедложение 3.3:
Предложение 3 . 4 Множество всех функций, непpеpывных на интеpвале или отpезке -- это линейное пpостpанство:
Более сложное свойство непрерывной функции выражает следующая теорема.
Теорема 3 . 6 (о корне непрерывной функции) Пусть функция непрерывна на отрезке , причём и -- числа разных знаков. (Будем для определённости считать, что , а .) Тогда существует хотя бы одно такое значение , что (то есть существует хотя бы один корень уравнения ).
Доказательство . Рассмотрим середину отрезка . Тогда либо , либо , либо . В первом случае корень найден: это . В остальных двух случаях рассмотрим ту часть отрезка, на концах которой функция принимает значения разных знаков: в случае или в случае . Выбранную половину отрезка обозначим через и применим к ней ту же процедуру: разделим на две половины и , где , и найдём . В случае корень найден; в случае рассматриваем далее отрезок , в случае -- отрезок и т. д.
Рис.3.16.Последовательные деления отрезка пополам
Получаем, что либо на некотором шаге будет найден корень , либо будет построена система вложенных отрезков
в которой каждый следующий отрезок вдвое короче предыдущего. Последовательность -- неубывающая и ограниченная сверху (например, числом ); следовательно (по теореме 2.13), она имеет предел . Последовательность -- невозрастающая и ограниченная снизу (например, числом ); значит, существует предел . Поскольку длины отрезков образуют убывающую геометрическую прогрессию (со знаменателем ), то они стремятся к 0, и , то есть . Положим теперь . Тогда
и
поскольку функция непрерывна. Однако, по построению последовательностей и , и , так что, по теореме о переходе к пределу в неравенстве (теорема 2.7), и , то есть и . Значит, , и -- корень уравнения .
Пример 3 . 14 Рассмотрим функцию на отрезке . Поскольку и -- числа разных знаков, то функция обращается в 0 в некоторой точке интервала . Это означает, что уравнение имеет корень .
Рис.3.17.Графическое представление корня уравнения
Доказанная теорема фактически даёт нам способ нахождения корня , хотя бы приближённого, с любой заданной наперёд степенью точности. Это -- метод деления отрезка пополам, описанный при доказательстве теоремы. Более подробно с этим и другими, более эффективными, способами приближённого нахождения корня мы познакомимся ниже, после того, как изучим понятие и свойства производной.
Заметим, что теорема не утверждает, что если её условия выполнены, то корень -- единственный. Как показывает следующий рисунок, корней может быть и больше одного (на рисунке их 3).
Рис.3.18.Несколько корней функции, принимающей значения разных знаков в концах отрезка
Однако, если функция монотонно возрастает или монотонно убывает на отрезке, в концах которого принимает значения разных знаков, то корень -- единственный, так как строго монотонная функция каждое своё значение принимает ровно в одной точке, в том числе и значение 0.
Рис.3.19.Монотонная функция не может иметь более одного корня
Непосредственным следствием теоремы о корне непрерывной функции является следующая теорема, которая и сама по себе имеет очень важное значение в математическом анализе.
Теорема 3 . 7 (о промежуточном значении непрерывной функции) Пусть функция непрерывна на отрезке и (будем для определённости считать, что ). Пусть -- некоторое число, лежащее между и . Тогда существует такая точка , что .
Рис.3.20.Непрерывная функция принимает любое промежуточное значение
Доказательство . Рассмотрим вспомогательную функцию , где . Тогда и . Функция , очевидно, непрерывна, и по предыдущей теореме существует такая точка , что . Но это равенство означает, что .
Заметим, что если функция не является непрерывной, то она может принимать не все промежуточные значения. Например, функция Хевисайда (см. пример 3.13) принимает значения , , но нигде, в том числе и на интервале , не принимает, скажем, промежуточного значения . Дело в том, что функция Хевисайда имеет разрыв в точке , лежащей как раз в интервале .
Для дальнейшего изучения свойств функций, непрерывных на отрезке, нам понадобится следующее тонкое свойство системы вещественных чисел (мы уже упоминали его в главе 2 в связи с теоремой о пределе монотонно возрастающей ограниченной функции): для любого ограниченного снизу множества (то есть такого, что при всех и некотором ; число называется нижней гранью множества ) имеется точная нижняя грань , то есть наибольшее из чисел , таких что при всех . Аналогично, если множество ограничено сверху, то оно имеет точную верхнюю грань : это наименьшая из верхних граней (для которых при всех ).
Рис.3.21.Нижняя и верхняя грани ограниченного множества
Если , то существует невозрастающая последовательность точек , которая стремится к . Точно так же если , то существует неубывающая последовательность точек , которая стремится к .
Если точка принадлежит множеству , то является наименьшим элементом этого множества: ; аналогично, если , то .
Кроме того, для дальнейшего нам понадобится следующая
Лемма 3 . 1 Пусть -- непрерывная функция на отрезке , и множество тех точек , в которых (или , или ) не пусто. Тогда в множестве имеется наименьшее значение , такое что при всех .
Рис.3.22.Наименьший аргумент, при котором функция принимает заданное значение
Доказательство . Поскольку -- ограниченное множество (это часть отрезка ), то оно имеет точную нижнюю грань . Тогда существует невозрастающая последовательность , , такая что при . При этом , по определению множества . Поэтому, переходя к пределу, получаем, с одной стороны,
а с другой стороны, вследствие непрерывности функции ,
Значит, , так что точка принадлежит множеству и .
В случае, когда множество задано неравенством , мы имеем при всех и по теореме о переходе к пределу в неравенстве получаем
откуда , что означает, что и . Точно так же в случае неравенства переход к пределу в неравенстве даёт
откуда , и .
Теорема 3 . 8 (об ограниченности непрерывной функции) Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда ограничена на , то есть существует такая постоянная , что при всех .
Рис.3.23.Непрерывная на отрезке функция ограничена
Доказательство . Предположим обратное: пусть не ограничена, например, сверху. Тогда все множества , , , не пусты. По предыдущей лемме в каждом из этих множеств имеется наименьшее значение , . Покажем, что
Действительно, . Если какая-либо точка из , например , лежит между и , то
то есть -- промежуточное значение между и . Значит, по теореме о промежуточном значении непрерывной функции, существует точка , такая что , и . Но , вопреки предположению о том, что -- наименьшее значение из множества . Отсюда следует, что при всех .
Точно так же далее доказывается, что при всех , при всех , и т. д. Итак, -- возрастающая последовательность, ограниченная сверху числом . Поэтому существует . Из непрерывности функции следует, что существует , но при , так что предела не существует. Полученное противоречие доказывает, что функция ограничена сверху.
Аналогично доказывается, что ограничена снизу, откуда следует утверждение теоремы.
Очевидно, что ослабить условия теоремы нельзя: если функция не является непрерывной, то она не обязана быть ограниченной на отрезке (приведём в качестве примера функцию
на отрезке . Эта функция не ограничена на отрезке, так как при имеет точку разрыва второго рода, такую что при . Также нельзя заменить в условии теоремы отрезок интервалом или полуинтервалом: в качестве примера рассмотрим ту же функцию на полуинтервале . Функция непрерывна на этом полуинтервале, но неограничена, вследствие того что при .
Поиск наилучших постоянных, которыми можно ограничить функцию сверху и снизу на заданном отрезке, естественным образом приводит нас к задаче об отыскании минимума и максимума непрерывной функции на этом отрезке. Возможность решения этой задачи описывается следующей теоремой.
Теорема 3 . 9 (о достижении экстремума непрерывной функцией) Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда существует точка , такая что при всех (то есть -- точка минимума: ), и существует точка , такая что при всех (то есть -- точка максимума: ). Иными словами, минимальное и максимальное 8 значения непрерывной функции на отрезке существуют и достигаются в некоторых точках и этого отрезка.
Рис.3.24.Непрерывная на отрезке функция достигает максимума и минимума
Доказательство . Так как по предыдущей теореме функция ограничена на сверху, то существует точная верхняя грань значений функции на -- число . Тем самым, множества , ,..., ,..., не пусты, и по предыдущей лемме в них есть наименьшие значения : , . Эти не убывают (доказывается это утверждение точно так же, как в предыдущей теореме):
и ограничены сверху числом . Поэтому, по теореме о пределе монотонной ограниченной последовательности, существует предел Так как , то и
по теореме о переходе к пределу в неравенстве, то есть . Но при всех , и в том числе . Отсюда получается, что , то есть максимум функции достигается в точке .
Аналогично доказывается существование точки минимума.
В этой теореме, как и в предыдущей, нельзя ослабить условия: если функция не является непрерывной, то она может не достигать своего максимального или минимального значения на отрезке, даже будучи ограниченной. Для примера возьмём функцию
на отрезке . Эта функция ограничена на отрезке (очевидно, что ) и , однако значение 1 она не принимает ни в одной точке отрезка (заметим, что , а не 1). Дело в том, что эта функция имеет разрыв первого рода в точке , так что при предел не равен значению функции в точке 0. Далее, непрерывная функция, заданная на интервале или другом множестве, не являющемся замкнутым отрезком (на полуинтервале, полуоси) также может не принимать экстремального значения. В качестве примера рассмотрим функцию на интервале . Очевидно, что функция непрерывна и что и , однако ни значения 0, ни значения 1 функция не принимает ни в какой точке интервала . Рассмотрим также функцию на полуоси . Эта функция непрерывна на , возрастает, принимает своё минимальное значение 0 в точке , но не принимает ни в какой точке максимального значения (хотя ограничена сверху числом и
Определение 4. Функция называется непрерывной на отрезке, если она непрерывна в каждой точке этого отрезка (в точке a непрерывна справа, т.е. , а в точке b непрерывна слева, т. е.).
Все основные элементарные функции непрерывны в области их определения.
Свойства функций, непрерывных на отрезке:
- 1) Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке (первая теорема Вейерштрасса).
- 2) Если функция непрерывна на отрезке, то на этом отрезке она достигает своего наименьшего значения и наибольшего значения (вторая теорема Вейерштрасса) (см. рис. 2).
- 3) Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри отрезка существует хотя бы одна точка такая, что (теорема Больцано-Коши).
Точки разрыва функции и их классификация
функция непрерывность точка отрезок
Точки, в которых условие непрерывности не выполняется, называются точками разрыва этой функции. Если - точка разрыва функции, то в ней не выполняется хотя бы одно из трех условий непрерывности функции, указанных в определениях 1, 2, а именно:
1) Функция определена в окрестности точки, но не определена в самой точке. Так функция, рассмотренная в примере 2 а) имеет разрыв в точке, так как не определена в этой точке.
2) Функция определена в точке и ее окрестности, существуют односторонние пределы и, но они не равны между собой: . Например, функция из примера 2 б) определена в точке и ее окрестности, но, так как, а.
3) Функция определена в точке и ее окрестности, существуют односторонние пределы и, они равны между собой, но не равны значению функции в точке: . Например, функция. Здесь - точка разрыва: в этой точке функция определена, существуют односторонние пределы и, равные между собой, но, т. е. .
Точки разрыва функции классифицируются следующим образом.
Определение 5. Точка называется точкой разрыва первого рода функции, если в этой точке существуют конечные пределы и, но они не равны между собой: . Величина называется при этом скачком функции в точке.
Определение 6 . Точка называется точкой устранимого разрыва функции, если в этой точке существуют конечные пределы и, они равны между собой: , но сама функция не определена в точке, или определена, но.
Определение 7. Точка называется точкой разрыва второго рода функции, если в этой точке хотя бы один из односторонних пределов (или) не существует или равен бесконечности.
Пример 3. Найти точки разрыва следующих функций и определить их тип: а) б)
Решение. а) Функция определена и непрерывна на интервалах, и, так как на каждом из этих интервалов она задана непрерывными элементарными функциями. Следовательно, точками разрыва данной функции могут быть только те точки, в которых функция меняет свое аналитическое задание, т.е. точки и. Найдем односторонние пределы функции в точке:
Так как односторонние пределы существуют и конечны, но не равны между собой, то точка является точкой разрыва первого рода. Скачок функции:
Для точки находим.
Непрерывность элементарных функций
Теоремы о непрерывности функций следуют непосредственно из соответствующих теорем о пределах.
Теорема. Сумма, произведение и частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная (для частного за исключением тех значений аргумента, в которых делитель равен нулю).
Теорема. Пусть функции u = φ (x ) непрерывна в точке х 0 , а функция y = f (u ) непрерывна в точке u 0 = φ (х 0). Тогда сложная функция f (φ (x )) состоящая из непрерывных функций, непрерывна в точке x 0 .
Теорема. Если функция у = f (х ) непрерывна и строго монотонна на [а ; b ] оси Ох , то обратная функция у = φ (х ) также непрерывна и монотонна на соответствующем отрезке [c ;d ] оси Оу (без доказательства).
Непрерывные на отрезке функции имеют ряд важных свойств. Сформулируем их в виде теорем, не приводя доказательств.
Теорема (Вейерштрасса) . Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений.
Изображенная на рисунке 5 функция у = f (x ) непрерывна на отрезке [а ; b ], принимает свое наибольшее значение М в точке x 1 , а наименьшее m - в точке х 2 . Для любого х [а ; b ] имеет место неравенство m ≤ f (x ) ≤ М .
Следствие. Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.
Теорема (Больцано - Коши). Если функция у = f (x ) непрерывна на отрезке [a ; b ] и принимает на его концах неравные значения f (a ) = A и f (b ) = =В , то на этом отрезке она принимает и все промежуточные значения между А и В .
Геометрически теорема очевидна (см. рис. 6).
Для любого числа С , заключенного между А и В , найдется точка с внутри этого отрезка такая, что f (с ) = С . Прямая у = С пересечет график функции по крайней мере в одной точке.
Следствие. Если функция у = f (x ) непрерывна на отрезке [а ; b ] и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри отрезка [а ; b ] найдется хотя бы одна точка с , в которой данная функция f (x ) обращается в нуль: f (с ) = 0.
Геометрический смысл теоремы: если график непрерывной функции переходит с одной стороны оси Ох на другую, то он пересекает ось Ox (см. рис. 7).
Рис. 7.
Определение . Если функция f (x ) определена на отрезке [a, b ], непрерывна в каждой точке интервала (a, b ), в точке a непрерывна справа, в точке b непрерывна слева, то говорят, что функция f (x ) непрерывна на отрезке [a, b ].
Другими словами, функция f (x ) непрерывна на отрезке [a, b ], если выполнены три условия:
1) "x 0 Î(a, b ): f (x ) = f (x 0);
2) f (x ) = f (a );
3) f (x ) = f (b ).
Для функций, непрерывных на отрезке, рассмотрим некоторые свойства, которые сформулируем в виде следующих теорем, не проводя доказательств.
Теорема 1 . Если функция f (x ) непрерывна на отрезке [a, b ], то она достигает на этом отрезке своего наименьшего и своего наибольшего значения.
Эта теорема утверждает (рис. 1.15), что на отрезке [a, b ] найдется такая точка x 1 , что f (x 1) £ f (x ) для любых x из [a, b ] и что найдется точка x 2 (x 2 Î[a, b ]) такая, что "x Î[a, b ] (f (x 2) ³ f (x )).
Значение f (x 1) является наибольшим для данной функции на [a, b ], а f (x 2) – наименьшим. Обозначим: f (x 1) = M , f (x 2) = m . Так как для f (x ) выполняется неравенство: "x Î[a, b ] m £ f (x ) £ M , то получаем следующее следствие из теоремы 1.
Следствие . Если функция f (x ) непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.
Теорема 2 . Если функция f (x ) непрерывна на отрезке [a,b ] и на концах отрезка принимает значения разных знаков, то найдется такая внутренняя точка x 0 отрезка [a, b ], в которой функция обращается в 0, т.е. $x 0 Î (a, b ) (f (x 0) = 0).
Эта теорема утверждает, что график функции y = f (x ), непрерывной на отрезке [a, b ], пересекает ось Ox хотя бы один раз, если значения f (a ) и f (b ) имеют противоположные знаки. Так, (рис. 1.16) f (a ) > 0, f (b ) < 0 и функция f (x ) обращается в 0 в точках x 1 , x 2 , x 3 .
Теорема 3 . Пусть функция f (x ) непрерывна на отрезке [a, b ], f (a ) = A , f (b ) = B и A ¹ B . (рис. 1.17). Тогда для любого числа C , заключенного между числами A и B , найдется такая внутренняя точка x 0 отрезка [a, b ], что f (x 0) = C .
Следствие . Если функция f (x ) непрерывна на отрезке [a, b ], m – наименьшее значение f (x ), M – наибольшее значение функции f (x ) на отрезке [a, b ], то функция принимает (хотя бы один раз) любое значение m , заключенное между m и M , а потому отрезок [m, M ] является множеством всех значений функции f (x ) на отрезке [a, b ].
Заметим, что если функция непрерывна на интервале (a, b ) или имеет на отрезке [a, b ] точки разрыва, то теоремы 1, 2, 3 для такой функции перестают быть верными.
В заключение рассмотрим теорему о существовании обратной функции.
Напомним, что под промежутком понимается отрезок либо интервал, либо полуинтервал конечный или бесконечный.
Теорема 4 . Пусть f (x ) непрерывна на промежутке X , возрастает (или убывает) на X и имеет множеством значений промежуток Y . Тогда для функции y = f (x ) существует обратная функция x = j (y ), определенная на промежутке Y , непрерывная и возрастающая (или убывающая) на Y с множеством значений X .
Замечание . Пусть функция x = j (y ) является обратной для функции f (x ). Так как обычно аргумент обозначают через x , а функцию через y , то запишем обратную функцию в виде y = j (x ).
Пример 1 . Функция y = x 2 (рис. 1.8, а) на множестве X = }