Движение под углом к горизонту с высоты. Движение тела под углом к горизонту: формулы, расчет дальности полета и максимальной высоты взлета. Вычисление дальности полета
Если тело бросить под углом к горизонту, то в полете на него действуют сила тяжести и сила сопротивления воздуха. Если силой сопротивления пренебречь, то остается единственная сила -- сила тяжести. Поэтому вследствие 2-го закона Ньютона тело движется с ускорением, равным ускорению свободного падения; проекции ускорения на координатные оси ах = 0, ау = - g.
Рисунок 1. Кинематические характеристики тела, брошенного под углом к горизонту
Любое сложное движение материальной точки можно представить как наложение независимых движений вдоль координатных осей, причем в направлении разных осей вид движения может отличаться. В нашем случае движение летящего тела можно представить как наложение двух независимых движений: равномерного движения вдоль горизонтальной оси (оси Х) и равноускоренного движения вдоль вертикальной оси (оси Y) (рис. 1).
Проекции скорости тела, следовательно, изменяются со временем следующим образом:
где $v_0$ - начальная скорость, ${\mathbf \alpha }$ - угол бросания.
При нашем выборе начала координат начальные координаты (рис. 1) $x_0=y_0=0$. Тогда получим:
(1)
Проанализируем формулы (1). Определим время движения брошенного тела. Для этого положим координату y равной нулю, т.к. в момент приземления высота тела равна нулю. Отсюда получаем для времени полета:
Второе значение времени, при котором высота равна нулю, равно нулю, что соответствует моменту бросания, т.е. это значение также имеет физический смысл.
Дальность полета получим из первой формулы (1). Дальность полета - это значение координаты х в конце полета, т.е. в момент времени, равный $t_0$. Подставляя значение (2) в первую формулу (1), получаем:
Из этой формулы видно, что наибольшая дальность полета достигается при значении угла бросания, равном 45 градусов.
Наибольшую высоту подъема брошенного тела можно получить из второй формулы (1). Для этого нужно подставить в эту формулу значение времени, равное половине времени полета (2), т.к. именно в средней точке траектории высота полета максимальна. Проводя вычисления, получаем
Из уравнений (1) можно получить уравнение траектории тела, т.е. уравнение, связывающее координаты х и у тела во время движения. Для этого нужно из первого уравнения (1) выразить время:
и подставить его во второе уравнение. Тогда получим:
Это уравнение является уравнением траектории движения. Видно, что это уравнение параболы, расположенной ветвями вниз, о чем говорит знак «-» перед квадратичным слагаемым. Следует иметь в виду, что угол бросания $\alpha $ и его функции -- здесь просто константы, т.е. постоянные числа.
Тело брошено со скоростью v0 под углом ${\mathbf \alpha }$ к горизонту. Время полета $t = 2 с$. На какую высоту Hmax поднимется тело?
$$t_В = 2 с$$ $$H_max - ?$$
Закон движения тела имеет вид:
$$\left\{ \begin{array}{c} x=v_{0x}t \\ y=v_{0y}t-\frac{gt^2}{2} \end{array} \right.$$
Вектор начальной скорости образует с осью ОХ угол ${\mathbf \alpha }$. Следовательно,
\ \ \
С вершины горы бросают под углом = 30${}^\circ$ к горизонту камень с начальной скоростью $v_0 = 6 м/с$. Угол наклонной плоскости = 30${}^\circ$. На каком расстоянии от точки бросания упадет камень?
$$ \alpha =30{}^\circ$$ $$v_0=6\ м/с$$ $$S - ?$$
Поместим начало координат в точку бросания, ОХ -- вдоль наклонной плоскости вниз, OY -- перпендикулярно наклонной плоскости вверх. Кинематические характеристики движения:
Закон движения:
$$\left\{ \begin{array}{c} x=v_0t{cos 2\alpha +g\frac{t^2}{2}{sin \alpha \ }\ } \\ y=v_0t{sin 2\alpha \ }-\frac{gt^2}{2}{cos \alpha \ } \end{array} \right.$$ \
Подставив полученное значение $t_В$, найдём $S$:
Рассмотрим движение тела в поле тяжести Земли, сопротивление воздуха учитывать не будем. Пусть начальная скорость брошенного тела направлена под углом к горизонту $\alpha $ (рис.1). Тело брошено с высоты ${y=h}_0$; $x_0=0$.
Тогда в начальный момент времени тело имеет горизонтальную ($v_x$) и вертикальную ($v_y$) составляющие скорости. Проекции скорости на оси координат при $t=0$ равны:
\[\left\{ \begin{array}{c} v_{0x}=v_0{\cos \alpha ,\ } \\ v_{0y}=v_0{\sin \alpha .\ } \end{array} \right.\left(1\right).\]
Ускорение тела равно ускорению свободного паления и все время направлено вниз:
\[\overline{a}=\overline{g}\left(2\right).\]
Значит, проекция ускорения на ось X равна нулю, а на ось Y равна $a_y=g.$
Так как по оси X составляющая ускорения равна нулю, то скорость движения тела в этом направлении является постоянной величиной и равна проекции начальной скорости на ось X (см.(1)). Движение тела по оси X равномерное.
При ситуации, изображенной на рис.1 тело по оси Y будет двигаться сначала вверх, а затем виз. При этом ускорение движения тела в обоих случаях равно ускорению $\overline{g}.$ На прохождение пути вверх от произвольной высоты ${y=h}_0$ до максимальной высоты подъема ($h$) тело тратит столько же времени, сколько на падение вниз от $h$ до ${y=h}_0$. Следовательно, точки симметричные относительно вершины подъема тела лежат на одинаковой высоте. Получается, что траектория движения тела симметрична относительно точки-вершины подъема - и это парабола.
Скорость движения тела, брошенного под углом к горизонту можно выразить формулой:
\[\overline{v}\left(t\right)={\overline{v}}_0+\overline{g}t\ \left(3\right),\]
где ${\overline{v}}_0$ - скорость тела в момент броска. Формулу (3) можно рассматривать как результат сложения скоростей двух независимых движений по прямым линиям, в которых участвует тело.
Выражения для проекции скорости на оси принимают вид:
\[\left\{ \begin{array}{c} v_x=v_0{\cos \alpha ,\ } \\ v_y=v_0{\sin \alpha -gt\ } \end{array} \left(4\right).\right.\]
Уравнение для перемещения тела при движении в поле тяжести:
\[\overline{s}\left(t\right)={\overline{s}}_0+{\overline{v}}_0t+\frac{\overline{g}t^2}{2}\left(5\right),\]
где ${\overline{s}}_0$ - смещение тела в начальный момент времени.
Проектируя уравнение (5) на оси координат X и Y, получим:
\[\left\{ \begin{array}{c} x=v_0{\cos \left(\alpha \right)\cdot t,\ } \\ y={h_0+v}_0{\sin \left(\alpha \right)\cdot t-\frac{gt^2}{2}\ } \end{array} \left(6\right).\right.\]
Тело, двигаясь вверх, имеет по оси Y сначала равнозамедленное перемещение, после того, как тело достигает вершины, движение по оси Y становится равноускоренным.
Траектория движения материальной точки получается, задана уравнением:
По форме уравнения (7) видно, что траекторией движения является парабола.
Время подъема и полета тела, брошенного под углом к горизонту
Время, затрачиваемое телом для того, чтобы достигнуть максимальной высоты подъема получают из системы уравнений (4). . В вершине траектории тело имеет только горизонтальную составляющую, $v_y=0.$ Время подъема ($t_p$) равно:
Общее время движения тела (время полета ($t_{pol}))$находим из второго уравнения системы (6), зная, что при падении тела на Землю $y=0$, имеем:
Дальность полета и высота подъема тела, брошенного под углом к горизонту
Для нахождения горизонтальной дальности полета тела ($s$) при заданных нами условиях в уравнение координаты $x$ системы уравнений (6) следует подставить время полета ($t_{pol}$) (9). При $h=0,$ дальность полета равна:
Из выражения (9) следует, что при заданной скорости бросания дальность полета максимальна при $\alpha =\frac{\pi }{4}$.
Максимальную высоту подъема тела ($h_{max}$) находят из второго уравнения системы (6), подставляя в него время подъема ($t_p$) (8):
Выражение (11) показывает, что максимальная высота подъема тела прямо пропорциональна квадрату скорости бросания и увеличивается при росте угла бросания.
Примеры задач с решением
Пример 1
Задание. Во сколько раз изменится время полета тела, которое бросили с высоты $h$ в горизонтальном направлении, если скорость бросания тела увеличили в $n$ раз?
Решение. Найдем формулу для вычисления времени полета тела, если его бросили горизонтально (рис.2).
В качестве основы для решения задачи используем выражение для равноускоренного движения тела в поле тяжести:
\[\overline{s}={\overline{s}}_0+{\overline{v}}_0t+\frac{\overline{g}t^2}{2}\left(1.1\right).\]
Используя рис.2 запишем проекции уравнения (1.1) на оси координат:
\[\left\{ \begin{array}{c} X:x=v_0t;; \\ Y:y=h_0-\frac{gt^2}{2} \end{array} \right.\left(1.2\right).\]
Во время падения тела на землю $y=0,$ используем этот факт и выразим время полета из второго уравнения системы (1.2), имеем:
Как мы видим, время полета тела не зависит от его начальной скорости, следовательно, при увеличении начальной скорости в $n$ раз время полета тела не изменится.
Ответ. Не изменится.
Пример 2
Задание. Как изменится дальность полета тела в предыдущей задаче, если начальную скорость увеличить в $n$ раз?
Решение. Дальность полета - это расстояние, которое пройдет тело по горизонтальной оси. Это означает, что нам потребуется уравнение:
из системы (1.2) первого примера. Подставив вместо $t,$ время полета, найденное в (1.3), мы получим дальность полета ($s_{pol}$):
Из формулы (2.2) мы видит, что при заданных условиях движения дальность полета прямо пропорциональна скорости бросания тела, следовательно, во сколько раз увеличим начальную скорость, во столько раз увеличится дальность полета тела.
Ответ. Дальность полета тела увеличится в $n$ раз.
Что такое свободное падение? Это падение тел на Землю при отсутствии сопротивления воздуха. Иначе говоря - падение в пустоте. Конечно, отсутствие сопротивления воздуха - это вакуум, который нельзя встретить на Земле в нормальных условиях. Поэтому мы не будем брать силу сопротивления воздуха во внимание, считая ее настолько малой, что ей можно пренебречь.
Ускорение свободного падения
Проводя свои знаменитые опыты на Пизанской башне Галилео Галилей выяснил, что все тела, независимо от их массы, падают на Землю одинаково. То есть, для всех тел ускорение свободного падения одинаково. По легенде, ученый тогда сбрасывал с башни шары разной массы.
Ускорение свободного падения
Ускорение свободного падения - ускорение, с которым все тела падают на Землю.
Ускорение свободного падения приблизительно равно 9 , 81 м с 2 и обозначается буквой g . Иногда, когда точность принципиально не важна, ускорение свободного падения округляют до 10 м с 2 .
Земля - не идеальный шар, и в различных точках земной поверхности, в зависимости от координат и высоты над уровнем моря, значение g варьируется. Так, самое большое ускорение свободного падения - на полюсах (≈ 9 , 83 м с 2) , а самое малое - на экваторе (≈ 9 , 78 м с 2) .
Свободное падение тела
Рассмотрим простой пример свободного падения. Пусть некоторое тело падает с высоты h с нулевой начальной скоростью. Допустим мы подняли рояль на высоту h и спокойно отпустили его.
Свободное падение - прямолинейное движение с постоянным ускорением. Направим ось координат от точки начального положения тела к Земле. Применяя формулы кинематики для прямолинейного равноускоренного движения, можно записать.
h = v 0 + g t 2 2 .
Так как начальна скорость равна нулю, перепишем:
Отсюда находится выражение для времени падения тела с высоты h:
Принимая во внимание, что v = g t , найдем скорость тела в момент падения, то есть максимальную скорость:
v = 2 h g · g = 2 h g .
Аналогично можно рассмотреть движение тела, брошенного вертикально вверх с определенной начальной скоростью. Например, мы бросаем вверх мячик.
Пусть ось координат направлена вертикально вверх из точки бросания тела. На сей раз тело движется равнозамедленно, теряя скорость. В наивысшей точки скорость тела равна нулю. Применяя формулы кинематики, можно записать:
Подставив v = 0 , найдем время подъема тела на максимальную высоту:
Время падения совпадает со временем подъема, и тело вернется на Землю через t = 2 v 0 g .
Максимальная высота подъема тела, брошенного вертикально:
Взглянем на рисунок ниже. На нем приведены графики скоростей тел для трех случаев движения с ускорением a = - g . Рассмотрим каждый из них, предварительно уточнив, что в данном примере все числа округлены, а ускорение свободного падения принято равным 10 м с 2 .
Первый график - это падение тела с некоторой высоты без начальной скорости. Время падения t п = 1 с. Из формул и из графика легко получить, что высота, с которой падало тело, равна h = 5 м.
Второй график - движение тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью v 0 = 10 м с. Максимальная высота подъема h = 5 м. Время подъема и время падения t п = 1 с.
Третий график является продолжением первого. Падающее тело отскакивает от поверхности и его скорость резко меняет знак на противоположный. Дальнейшее движение тела можно рассматривать по второму графику.
С задачей о свободном падении тела тесно связана задача о движении тела, брошенного под определенным углом к горизонту. Так, движение по параболической траектории можно представить как сумму двух независимых движений относительно вертикальной и горизонтальной осей.
Вдоль оси O Y тело движется равноускоренно с ускорением g , начальная скорость этого движения - v 0 y . Движение вдоль оси O X - равномерное и прямолинейное, с начальной скоростью v 0 x .
Условия для движения вдоль оси О Х:
x 0 = 0 ; v 0 x = v 0 cos α ; a x = 0 .
Условия для движения вдоль оси O Y:
y 0 = 0 ; v 0 y = v 0 sin α ; a y = - g .
Приведем формулы для движения тела, брошенного под углом к горизонту.
Время полета тела:
t = 2 v 0 sin α g .
Дальность полета тела:
L = v 0 2 sin 2 α g .
Максимальная дальность полета достигается при угле α = 45 ° .
L m a x = v 0 2 g .
Максимальная высота подъема:
h = v 0 2 sin 2 α 2 g .
Отметим, что в реальных условиях движение тела, брошенного под углом к горизонту, может проходить по траектории, отличной от параболической вследствие сопротивления воздуха и ветра. Изучением движения тел, брошенных в пространстве, занимается специальная наука - баллистика.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Ниже размещены условия задач и отсканированные решения. Если вам нужно решить задачу на эту тему, вы можете найти здесь похожее условие и решить свою по аналогии. Загрузка страницы может занять некоторое время в связи с большим количеством рисунков. Если Вам понадобится решение задач или онлайн помощь по физике- обращайтесь, будем рады помочь.
Принцип решения этих задач заключается в разложении скорости свободно падающего тела на две составляющие - горизонтальную и вертикальную. Горизонтальная составляющая скорости постоянна, вертикальное движение происходит с ускорением свободного падения g=9.8 м/с 2 . Также может применяться закон сохранения механической энергии, согласно которому сумма потенциальной и кинетической энерги тела в данном случае постоянна.
Материальная точка брошена под углом к горизонту с начальной скоростью 15 м/с. Начальная кинетическая энергия в 3 раза больше кинетической энергии точки в верхней точке траектории. На какую высоту поднималась точка?
Тело брошено под углом 40 градусов к горизонту с начальной скоростью 10 м/с. Найти расстояние, которое пролетит тело до падения, высоту подъема в верхней точке траектории и время в полете.
Тело брошено с башни высотой H вниз, под углом α к горизонту, с начальной скоростью v. Найти расстояние от башни до места падения тела.
Тело массой 0,5 кг брошено с поверхност Земли под углом 30 градусов к горизонту, с начальной скоростью 10 м/с. Найти потенциальную и кинетическую энергии тела через 0,4 с.
Материальная точка брошена вверх с поверхности Земли под углом к горизонту с начальной скоростью 10 м/с. Определить скорость точки на высоте 3 м.
Тело брошено вверх с поверхности Земли под углом 60 градусов с начальной скоростью 10 м/с. Найти расстояние до точки падения, скорость тела в точке падения и время в полете.
Тело брошено вверх под углом к горизонту с начальной скоростю 20 м/с. Расстояние до точки падения в 4 раза больше максимальной высоты подъема. Найти угол, под которым брошено тело.
Тело брошено с высоты 5 м под углом 30 градусов к горизонту с начальной скоростью 22 м/с. Найти дальность полета тела и время полета тела.
Тело брошено с поверхности Земли под углом к горизонту с начальной скоростью 30 м/с. Найти тангенциальное и нормальное ускорения тела через 1с после броска.
Тело брошено с поверхности Зесли под углом 30 градусов к горизонту с начальной скоростью 14,7 м/с. Найти тангенциальное и нормальное ускорения тела через 1,25с после броска.
Тело брошено под углом 60 градусов к горизонту с начальной скоростью 20 м/с. Через какое время угол между скоростью и горизонтом станет равным 45 градусов?
Мяч, брошенный в спортзале под углом к горизонту, с начальной скоростью 20 м/с, в верхней точке траектории коснулся потолка на высоте 8м и упал на некотором расстоянии от места броска. Найти это расстояние и угол, под которым брошено тело.
Тело, брошеное с поверхности Земли под углом к горизонту, упало через 2,2с. Найти максимальную высоту подъема тела.
Камень брошен под углом 30 градусов к горизонту. На некоторой высоте камень побывал дважды - через время 1с и 3 с после броска. Найти эту высоту и начальную скорость камня.
Камень брошен под углом 30 градусов к горизонту с начальной скоростью 10 м/с. Найти расстояние от точки бросания до камня через 4 с.
Снаряд выпущен в момент, когда самолет пролетает над орудием, под углом к горизонту с начальной скоростью 500 м/с. Снаряд поразил самолет на высоте 3,5 км через 10с после выстрела. Какова скорость самолета?
Ядро массой 5 кг брошено с поверхности Земли под углом 60 градусов к горизонту. На разгон гири потрачена энергия 500Дж. Определить дальность полета и время в полете.
Тело брошено с высоты 100м вниз под углом 30 градусов к горизонту с начальной скоростью 5 м/с. Найти дальность полета тела.
Тело массой 200г, брошеное с поверхности Земли под углом к горизонту, упало на расстоянии 5м через время 1,2с. Найти работу по броску тела.
Когда изучают механическое движение в физике, то после ознакомления с равномерным и равноускоренным перемещением объектов, переходят к рассмотрению движения тела под углом к горизонту. В данной статье изучим подробнее этот вопрос.
Что собой представляет движение тела под углом к горизонту?
Этот тип перемещения объектов возникает, когда человек бросает камень в воздух, пушка совершает выстрел ядром, или вратарь выбивает от ворот футбольный мяч. Все подобные случаи рассматриваются наукой баллистикой.
Отмеченный вид перемещения объектов в воздухе происходит по параболической траектории. В общем случае проведение соответствующих расчетов является делом не простым, поскольку необходимо учитывать сопротивление воздуха, вращение тела во время полета, вращение Земли вокруг оси и некоторые другие факторы.
В данной статье мы не будем учитывать все эти факторы, а рассмотрим вопрос с чисто теоретической точки зрения. Тем не менее, полученные формулы достаточно хорошо описывают траектории тел, перемещающихся на небольшие расстояния.
Получение формул для рассматриваемого вида движения
Выведем тела к горизонту под углом. При этом будем учитывать только одну-единственную силу, действующую на летящий объект - силу тяжести. Поскольку она действует вертикально вниз (параллельно оси y и против нее), то, рассматривая горизонтальную и вертикальную составляющие движения, можно сказать, что первая будет иметь характер равномерного прямолинейного перемещения. А вторая - равнозамедленного (равноускоренного) прямолинейного перемещения с ускорением g. То есть, компоненты скорости через значение v 0 (начальная скорость) и θ (угол направления движения тела) запишутся так:
v x = v 0 *cos(θ)
v y = v 0 *sin(θ)-g*t
Первая формула (для v x) справедлива всегда. Что касается второй, то тут нужно отметить один нюанс: знак минус перед произведением g*t ставится только в том случае, если вертикальная компонента v 0 *sin(θ) направлена вверх. В большинстве случаев так и происходит, однако, если бросить тело с высоты, направив его вниз, тогда в выражении для v y следует поставить знак "+" перед g*t.
Проинтегрировав формулы для компонент скорости по времени, и учитывая начальную высоту h полета тела, получаем уравнения для координат:
x = v 0 *cos(θ)*t
y = h+v 0 *sin(θ)*t-g*t 2 /2
Вычисление дальности полета
При рассмотрении в физике движения тела к горизонту под углом, полезным для практического применения, оказывается расчет дальности полета. Определим ее.
Поскольку это перемещение представляет собой равномерное движения без ускорения, то достаточно подставить в него время полета и получить необходимый результат. Дальность полета определяется исключительно перемещением вдоль оси x (параллельно горизонту).
Время нахождения тела в воздухе можно вычислить, приравняв к нулю координату y. Имеем:
0 = h+v 0 *sin(θ)*t-g*t 2 /2
Это квадратное уравнение решаем через дискриминант, получаем:
D = b 2 - 4*a*c = v 0 2 *sin 2 (θ) - 4*(-g/2)*h = v 0 2 *sin 2 (θ) + 2*g*h,
t = (-b±√D)/(2*a) = (-v 0 *sin(θ)±√(v 0 2 *sin 2 (θ) + 2*g*h))/(-2*g/2) =
= (v 0 *sin(θ)+√(v 0 2 *sin 2 (θ) + 2*g*h))/g.
В последнем выражении один корень со знаком минуса отброшен, в виду его незначительного физического значения. Подставив время полета t в выражение для x, получаем дальность полета l:
l = x = v 0 *cos(θ)*(v 0 *sin(θ)+√(v 0 2 *sin 2 (θ) + 2*g*h))/g.
Проще всего это выражение проанализировать, если начальная высота равна нулю (h=0), тогда получим простую формулу:
l = v 0 2 *sin(2*θ)/g
Это выражение свидетельствует, что максимальную дальность полета можно получить, если тело бросить под углом 45 o (sin(2*45 o) = м1).
Максимальная высота подъема тела
Помимо дальности полета, также полезно найти высоту над землей, на которую может подняться тело. Поскольку этот тип движения описывается параболой, ветви которой направлены вниз, то максимальная высота подъема является ее экстремумом. Последний рассчитывается путем решения уравнения для производной по t для y:
dy/dt = d(h+v 0 *sin(θ)*t-g*t 2 /2)/dt = v 0 *sin(θ)-gt=0 =>
=> t = v 0 *sin(θ)/g.
Подставляем это время в уравнение для y, получаем:
y = h+v 0 *sin(θ)*v 0 *sin(θ)/g-g*(v 0 *sin(θ)/g) 2 /2 = h + v 0 2 *sin 2 (θ)/(2*g).
Это выражение свидетельствует, что на максимальную высоту тело поднимется, если его бросить вертикально вверх (sin 2 (90 o) = 1).