Какая волна называется плоской. Уравнение плоской бегущей волны. При выполнении лабораторной работы
Функция (78.1) должна быть периодической как относительно времени t, так и относительно координат x, у и z. Периодичность по t следует из того, что описывает колебания точки с координатами x , у, z . Периодичность по координатам вытекает из того, что точки, отстоящие друг от друга на расстоянии , колеблются одинаковым образом.
Найдем вид функции в случае плоской волны, предполагая, что колебания носят гармонический характер. Для упрощения направим оси координат так, чтобы ось x совпала с направлением распространения волны. Тогда волновые поверхности будут перпендикулярны к оси x и, поскольку все точки волновой поверхности колеблются одинаково, смещение будет зависеть только от х и t:
Пусть колебания точек, лежащих в плоскости х=0 (рис. 195), имеют вид
Найдем вид колебания частиц в плоскости, соответствующей произвольному значению х. Для того чтобы пройти путь от плоскости х=0 до этой плоскости, волне требуется время
Где - скорость распространения волны. Следовательно, колебания частиц, лежащих в плоскости x, будут отставать по времени на от колебаний частиц в плоскости х=0, т.е. будут иметь вид
Итак, уравнение плоской волны запишется следующим образом;
Выражение (78.3) дает связь между временем (t) н тем местом (х), в котором зафиксированное значение фазы осуществляется в данный момент. Определив вытекающее из него значение dx /dt , мы найдем скорость, с которой перемещается данное значение фазы. Продифференцировав выражение (78.3), получим:
Действительно, приравняв константе фазу волны (78.5) и продифференцировав, получим:
откуда и следует, что волна (78.5) распространяется в сторону убывания х.
Уравнению плоской волны можно придать симметричный относительно t и х вид. Для этого введем так называемое волновое число k ;
Заменив в уравнении (78.2) его значением (78.7) и внеся в скобки , получим уравнение плоской волны в виде
(78 .8) |
Уравнение волны, распространяющейся в сторону убывания х, будет отличаться от (78.8) только знаком при члене kx .
Теперь найдем уравнение сферической волны. Всякий реальный источник волн обладает некоторой протяженностью. Однако если ограничиться рассмотрением волны на расстояниях от источника, значительно превышающих его размеры, то источник можно считать точечным.
В случае, когда скорость распространения волны во всех направлениях одна и та же, порождаемая точечным источником волна будет сферической. Предположим, что фаза колебании источника равна . Тогда точки, лежащие на волновой поверхности радиуса r , будут колебаться с фазой (чтобы пройти путь r , волне требуется время ). Амплитуда колебаний в этом случае, даже если энергия волны не поглощается средой, не остается постоянной - она убывает с расстоянием от источника по закону 1/r (см. §82). Следовательно, уравнение сферической волны имеет вид
(78 .9) |
где а - постоянная величина, численно равная амплитуде на расстоянии от источника, равном единице. Размерность а равна размерности амплитуды, умноженной на размерность длины (размерность r ).
Напомним, что в силу сделанных вначале предположений уравнение (78.9) справедливо только при значительно превышающих размеры источника. При стремлении r к нулю выражение для амплитуды обращается в бесконечность. Этот абсурдный результат объясняется неприменимостью уравнения для малых r .
Имеются в виду координаты равновесного положения точки.
Волновые процессы
Основные понятия и определения
Рассмотрим некоторую упругую среду - твёрдую, жидкую или газообразную. Если в каком-либо месте этой среды возбудить колебания её частиц, то вследствие взаимодействия между частицами, колебания будут, передаваясь от одной частицы среды к другой распространяться в среде с некоторой скоростью . Процесс распространения колебаний в пространстве называется волной .
Если частицы в среде колеблются в направлении распространения волны, то она называется продольной. Если колебания частиц происходят в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны, то волна называется поперечной . Поперечные механические волны могут возникнуть только в среде, обладающей ненулевым модулем сдвига. Поэтому в жидкой и газообразной средах могут распространяться только продольные волны . Различие между продольными и поперечными волнами наиболее хорошо видно на примере распространения колебаний в пружине - см. рисунок.
Для характеристики поперечных колебаний необходимо задать положение в пространстве плоскости, проходящей через направление колебаний и направление распространения волны - плоскости поляризации .
Область пространства, в которой колеблются все частицы среды, называется волновым полем . Граница между волновым полем и остальным пространством среды называется фронтом волны . Иначе говоря, фронт волны - геометрическое место точек, до которых колебания дошли к данному моменту времени . В однородной и изотропной среде направление распространения волны перпендикулярно к фронту волны.
Пока в среде существует волна, частицы среды совершают колебания около своих положений равновесия. Пусть эти колебания являются гармоническими, и период этих колебаний равен Т . Частицы, отстоящие друг от друга на расстояние
вдоль направления распространения волны, совершают колебания одинаковым образом, т.е. в каждый данный момент времени их смещения одинаковы. Расстояние называется длиной волны . Другими словами, длина волны есть расстояние, на которое распространяется волна за один период колебаний .
Геометрическое место точек, совершающих колебания в одной фазе называется волновой поверхностью . Фронт волны – частный случай волновой поверхности. Длина волны – минимальное расстояние между двумя волновыми поверхностями, в которых точки колеблются одинаковым образом, или можно сказать, что фазы их колебаний отличаются на .
Если волновые поверхности являются плоскостями, то волна называется плоской , а если сферами – то сферической. Плоская волна возбуждается в сплошной однородной и изотропной среде при колебаниях бесконечной плоскости. Возбуждение сферической можно представить в виде результата радиальных пульсаций сферической поверхности, а также как результат действия точечного источника, размерами которого по сравнению с расстоянием до точки наблюдения можно пренебречь. Поскольку любой реальный источник имеет конечные размеры, на достаточно большом расстоянии от него волна будет близка к сферической. В то же время участок волновой поверхности сферической волны по мере уменьшения его размеров становится сколь угодно близким к участку волновой поверхности плоской волны.
Уравнения плоской и сферической волн
Уравнением волны называется выражение, которое определяет смещение колеблющейся точки, как функцию координат равновесного положения точки и времени:
Если источник совершает периодические колебания, то функция(22.2) должна быть периодической функцией и координат и времени. Периодичность по времениследует из того, что функция описывает периодические колебания точки с координатами; периодичность по координатам - из того, что точки находящиеся на расстоянии вдоль направления распространения волны, колеблются одинаковым образом
Ограничимся рассмотрением гармонических волн, когда точки среды совершают гармонические колебания. Необходимо отметить, что любую негармоническую функцию можно представить в виде результата наложения гармонических волн. Поэтому рассмотрение только гармонических волн не приводит к принципиальному ухудшению общности получаемых результатов.
Рассмотрим плоскую волну. Выберем систему координат так, чтобы ось Ох совпадала с направлением распространения волны. Тогда волновые поверхности будут перпендикулярны к оси Ох и, поскольку все точки волновой поверхности колеблются одинаково, смещение точек среды из положений равновесия будет зависеть только отх и t :
Пусть колебания точек, лежащих в плоскости имеют вид:
(22.4)
Колебания в плоскости, находящейся на расстоянии х от начала координат, отстают по времени от колебаний в на промежуток времени , необходимый волне для преодоления расстояния х, и описываются уравнением
которое и является уравнением плоской волны, распространяющейся в направлении оси Ох.
При выводе уравнения (22.5) мы предполагали амплитуду колебаний одинаковой во всех точках. В случае плоской волны это выполняется, если энергия волны не поглощается средой.
Рассмотрим некоторое значение фазы, стоящей в уравнении (22.5):
(22.6)
Уравнение (22.6) даёт связь между временем t и местом - х , в котором указанное значение фазы осуществляется в данный момент. Определив из уравнения (22.6) , мы найдём скорость, с которой перемещается данное значение фазы. Дифференцируя(22.6), получаем:
Откуда следует (22.7)
Эта функция должна быть периодической как относительно времени, так и координат (волна – это распространяющееся колебание, следовательно периодически повторяющееся движение). Кроме того, точки, отстоящие друг от друга на расстоянии l, колеблются одинаковым образом.
Уравнение плоской волны
Найдем вид функции x в случае плоской волны, предполагая, что колебания носят гармонический характер.
Направим оси координат так, чтобы ось x совпадала с направлением распространения волны. Тогда волновая поверхность будет перпендикулярна оси x . Так как все точки волновой поверхности колеблются одинаково, смещение x будет зависеть только от х и t : . Пусть колебание точек, лежащих в плоскости , имеет вид (при начальной фазе )
(5.2.2) |
Найдем вид колебания частиц в плоскости, соответствующей произвольному значению x . Чтобы пройти путь x , необходимо время .
Следовательно, колебания частиц в плоскости x будут отставать по времени на t от колебаний частиц в плоскости , т.е.
, | (5.2.3) |
– это уравнение плоской волны.
Таким образом, x есть смещение любой из точек с координатой x в момент времени t . При выводе мы предполагали, что амплитуда колебания . Это будет, если энергия волны не поглощается средой.
Такой же вид уравнение (5.2.3) будет иметь, если колебания распространяются вдоль оси y или z .
В общем виде уравнение плоской волны записывается так:
Выражения (5.2.3) и (5.2.4) есть уравнения бегущей волны .
Уравнение (5.2.3) описывает волну, распространяющуюся в сторону увеличения x . Волна, распространяющаяся в противоположном направлении, имеет вид:
.
Уравнение волны можно записать и в другом виде.
Введем волновое число , или в векторной форме:
, | (5.2.5) |
где – волновой вектор, – нормаль к волновой поверхности.
Так как , то . Отсюда . Тогда уравнение плоской волны запишется так:
. | (5.2.6) |
Уравнение сферической волны
Волной называется процесс распространения колебания (или какого-то другого сигнала) в пространстве.
Представим, например, что во всех точках плоскости YOZ некоторый физический параметр меняется во времени по гармоническому закону
Пусть колебания этого абстрактного параметра распространяются вдоль оси OX со скоростью v (рис. 13.1.). Тогда в плоскости с координатой x исходные колебания повторятся вновь, но с запаздыванием на секунд:
Рис. 13.1.
Функция (13.1) называется уравнением плоской волны . Эту важную функцию чаще записывают в таком виде
Здесь: Е 0 и w - амплитуда и частота колебаний в волне,
(wt – kx + - фаза волны,
a - начальная фаза,
Волновое число,
v - скорость распространения волны.
Совокупность всех точек пространства, в которых колебания происходят в одинаковой фазе, определяет фазовую поверхность . В нашем примере это плоскость.
(wt – kx + = F = const - уравнение движения фазовой поверхности в процессе распространения волны. Возьмём производную этого уравнения по времени:
w – k = 0.
Здесь = v ф - скорость движения фазовой поверхности - фазовая скорость .
= v ф = .
Таким образом, фазовая скорость равна скорости распространения волны.
Фазовая поверхность, отделяющая пространство, охваченное волновым процессом, от той части, куда волна еще не дошла, называется фронтом волны. Фронт волны, как одна из фазовых поверхностей, тоже движется с фазовой скоростью. Эта скорость, например, акустической волны в воздухе составляет 330 м/с, а световой (электромагнитной) волны в вакууме - 3×10 8 м/с.
Уравнение волны Е = Е 0 ×cos(wt – kx + j) представляет собой решение дифференциального волнового уравнения . Для отыскания этого дифференциального уравнения, продифференцируем уравнение волны (13.2) дважды по времени, а затем - дважды по координате:
,
Сравнив эти два выражения, обнаруживаем, что
.
Но волновое число k = , поэтому
. (13.3)
Это и есть дифференциальное уравнение волнового процесса - волновое уравнение .
Еще раз отметим, что уравнение волны (13.2) есть решение волнового уравнения (13.3).
Волновое уравнение можно записать, конечно, и так
Теперь очевидно, что в волновом уравнении коэффициент при второй производной по координате равен квадрату фазовой скорости волны.
Если, решая задачу о движении, мы получаем дифференциальное уравнение типа
то это означает, что исследуемое движение - собственные затухающие колебания …
Если при решении очередной задачи возникло дифференциальное уравнение
то это означает, что исследуется волновой процесс , и скорость распространения этой волны .
Установим связь между смещением колеблющейся частицы среды (точки) от положения равновесия и временем, отсчитанным от момента начала колебания источника, который находится на расстоянии х от «нашей» частицы в начале координат.
Пусть колебания источника S гармонические, т.е. описываются уравнением ξ (t ) = A sinωt . С течением времени все частицы среды также будут совершать синусоидальные колебания с той же частотой и амплитудой, но с различными фазами. В среде возникнет гармоническая бегущая волна.
Частица среды, находящаяся на оси ОХ на расстоянии х от источника S (рис. 1.2), начнёт колебаться позже, чем источник, на время, необходимое, чтобы волна, распространяющаяся от источника со скоростью V , преодолела расстояние х до частицы. Очевидно, что если источник колеблется уже в течение времени t , то частица среды колеблется еще только в течение времени (t – t), где t - время распространения колебаний от источника до частицы.
Тогда уравнение колебания для этой частицы будет
ξ (x,t ) =A sinω(t- τ),
но t =x /V , где V – модуль cкорости распространения волны. Тогда
ξ (x,t ) =A sinω(t-x/V )
– уравнение волны.
С учётом того, что и , уравнению можно придать вид
ξ (x,t )=A sin2 (t/T-x/λ ) = A sin2 (νt -x/λ ) = A sin (ωt -2πx/λ ) = A sin (ωt -kx ),(1.1)
где k = 2p/l – волновое число.Здесь (1.1) – уравнение плоской гармонической монохроматической волны (рис. 1.3), распространяющейся в направлении оси ОХ . График волны внешне похож на график гармонического колебания, но по существу они различны.
График колебания – зависимость смещения данной частицы от времени. График волны – смещение всех частиц среды в данный момент времени на всем расстоянии от источника колебаний до волнового фронта. График волны является как бы моментальной фотографией волны.
Уравнение бегущей волны, распространяющейся в произвольном направлении, имеет вид:
ξ (x,y,z,t ) = A sin = A sin(ωt – k x x – k y y – k z z ), (1.2)
где ξ – мгновенное смещение колеблющегося элемента среды (точки) с координатами x, y, z ; А – амплитуда смещения; ω – круговая частота колебаний;
– волновой вектор, равный ( – единичный вектор, указывающий направление распространения волны); ; - орты;
λ – длинна волны (рис. 1.3), т.е. расстояние, на которое распространяется волна за время, равное периоду колебаний частиц среды; – радиус-вектор, проведённый в рассматриваемую точку, ;
– фаза волны, где .
Здесь – углы, составленные волновым вектором с соответствующими осями координат.
Если волна распространяется в среде, не поглащающей энергию, то амплитуда волны не изменяется, т.е. А = const.
Скорость распространения волнового движения является скоростью распространения фазы волны (фазовая скорость). В однородной среде скорость волны постоянна. Если фазовая скорость волны в среде зависит от частоты, то такое явление называется дисперсией волн, а среда – дисперсирующей средой.
При переходе из одной среды в другую может меняться скорость распространения волн, так как меняются упругие свойства среды, однако частота колебаний, как показывает опыт, остается неизменной. Это значит, что припереходе из одной среды в другую будет меняться длина волны l.
Если мы возбудили колебания в какой-либо точке среды, то колебания передадутся всем окружающим ее точкам, т.е. колебаться будет совокупность частиц, заключенных в некотором объеме. Распространяясь от источника колебаний волновой процесс охватывает все новые и новые части пространства. Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к некоторому моменту времени t, называется фронтом волны.
Таким образом, фронт волны является той поверхностью, которая отделяет часть пространства, уже вовлеченную в волновой процесс, от области, в которой колебания еще не возникли. Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью. Волновые поверхности могут быть различной формы. Простейшие из них имеют форму сферы или плоскости. Волны, имеющие такие поверхности, называются соответственно сферическими или плоскими.
Часто при решении задач о распространении волн надо строить волновой фронт для некоторого момента времени по волновому фронту, заданному для начального момента времени. Это можно сделать, используя принцип Гюйгенса , сущность которого в следующем.
Пусть волновой фронт, перемещающийся в однородной среде, занимает в данный момент времени положение 1 (рис. 1.4). Требуется найти его положение через промежуток времени Dt .
В соответствии с принципом Гюйгенса, каждая точка среды, до которой дошла волна, сама становится источником вторичных волн (первое положение принципа Гюйгенса).
Это значит, что от нее, как из центра, начинает распространяться сферическая волна. Чтобы построить вторичные волны, вокруг каждой точки исходного фронта опишем сферы радиусом Dx = V Dt , где V – скорость волны. На рис. 1.4 показаны такие сферы. Здесь кружочки – сечения сферических поверхностей плоскостью чертежа.
Вторичные волны взаимно гасятся во всех направлениях, кроме направлений исходного фронта (второе положение принципа Гюйгенса), то есть, колебания сохраняются только на внешней огибающей вторичных волн. Построив эту огибающую, получим исходное положение 2 волнового фронта (штриховая линия). Положения 1 и 2 волнового фронта
− в нашем случае плоскости.
Принцип Гюйгенса применим и к неоднородной среде. В этом случае значения V, а, следовательно, и Dх неодинаковы в различных направлениях.
Так как прохождение волны сопровождается колебанием частиц среды, то вместе с волной перемещается в пространстве и энергия колебаний.
Бегущими волнами называются волны, которые переносят в пространстве энергию и импульс. Перенос энергии волнами характеризуется вектором плотности потока энергии. Направление этого вектора совпадает с направлением переноса энергии, а его модуль называется интенсивностью волны (или плотностью потока энергии) и представляет собой отношение энергии W , переносимой волною сквозь площадь S ┴ , перпендикулярную лучу, к продолжительности времени переноса ∆t и размеру площади:
I = W/ (∆t∙S ┴),
откуда численно I=W , если ∆t =1 и S ┴ =1. Единица интенсивности: ватт на метр в квадрате (Вт /м 2 ).
Получим выражение для интенсивности волны. При концентрации n 0 частиц среды, каждая из которых имеет массу m , объемная плотность w 0 энергии складывается из кинетической энергии движения частиц среды и потенциальной энергии, являющейся энергией деформированного объема. Объемная плотность энергии определяется выражением:
w 0 = n 0 mw 2 A 2 / 2 = rw 2 A 2 / 2,
где r =n 0 m . Подробный вывод выражения для объемной плотности энергии упругих волн приведен в учебном пособии . Очевидно, за 1с сквозь площадку в 1 м 2 переносится энергия, содержащаяся в объеме прямоугольного параллелепипеда с основанием 1 м 2 и высотой, численно равной скорости V (рис. 1.5), следовательно интенсивность волны
I = w 0 V = rVw 2 A 2 / 2. (1.3)
Таким образом, интенсивность волны пропорциональна плотности среды, скорости, квадрату круговой частоты и квадратуамплитуды волны .
Вектор , модуль которого равен интенсивности волны, а направление совпадает с направлением распространения волны (и переноса энергии), определяется выражением.