Определение центра масс. Центр масс тела. Равновесие. Масса тела Масса материальной системы
с массами `m_1`, `m_2`, `m_3`, `…`. Каждую из этих частей можно рассматривать как материальную точку. Положение в пространстве `i`-ой материальной точки с массой `m_i` определяется радиус - вектором `vecr_i` (рис. 11). Масса тела есть сумма масс отдельных его частей: `m=sum_im_i`. По определению центром масс тела (системы тел) называется такая точка `C`, радиус-вектор которой `vecr_c` определяется по формуле `vecr_c=1/m sum_im_ivecr_i`.
Можно показать, что положение центра масс относительно тела не зависит от выбора начала координат `O`, т. е. данное выше определение центра масс однозначно и корректно.
Не вдаваясь в методы нахождения центра масс, скажем, что центр масс однородных симметричных тел расположен в их геометрическом центре или на оси симметрии, центр масс у плоского тела в виде произвольного треугольника находится на пересечении его медиан.
Оказывается, что у центра масс тела (или системы тел) есть ряд замечательных свойств. В динамике показывается, что импульс произвольно движущегося тела равен произведению массы тела на скорость его центра масс и что центр масс движется так, как если бы все внешние силы, действующие на тело, были приложены в центре масс, а масса всего тела была сосредоточена в нём.
Центром тяжести тела, находящегося в поле тяготения Земли, называют точку приложения равнодействующей всех сил тяжести, действующих на все части тела. Эта равнодействующая называется силой тяжести, действующей на тело. Сила тяжести, приложенная в центре тяжести тела, оказывает на тело такое же воздействие, как и все силы тяжести, действующие на отдельные части тела.
Интересен случай, когда размеры тела намного меньше размеров Земли. Тогда можно считать, что на все части тела действуют параллельные силы тяжести, т. е. тело находится в однородном поле тяжести. У параллельных и одинаково направленных сил всегда есть равнодействующая, что можно доказать. Но при определённом положении тела в пространстве можно указать только линию действия равнодействующей всех параллельных сил тяжести, точка её приложения останется пока неопределённой, т. к. для твёрдого тела любую силу можно переносить вдоль лини её действия. Как же быть с точкой приложения?
Можно показать, что при любом положении тела в однородном поле тяжести линия действия равнодействующей всех сил тяжести, действующих на отдельные части тела, проходят через одну и ту же точку, неподвижную относительно тела. В этой точке и прикладывается равнодействующая, а сама точка будет центром тяжести тела.
Положение центра тяжести относительно тела зависит только от формы тела и распределения массы в теле и не зависит от положения тела в однородном поле тяжести. Центр тяжести не обязательно находится в самом теле. Например, у обруча в однородном поле тяжести центр тяжести лежит в его геометрическом центре.
Сообщим без доказательства чрезвычайно любопытный и важный факт. Оказывается, в однородном поле тяжести центр тяжести тела совпадает с его центром масс. Напомним, что центр масс тела существует независимо от наличия поля тяжести, а о центре тяжести можно говорить только при наличии силы тяжести.
Местоположение центра тяжести тела, а значит, и центра масс, удобно находить, учитывая симметричность тела и используя понятие момента силы.
На лёгком стержне (рис. 12) закреплены шары масса ми `m_1=3` кг, `m_2=2` кг, `m_3=6` кг, `m_4=3` кг. Расстояние между центрами любых ближайших шаров `a=10` см. Найти положение центра тяжести и центра масс конструкции.
Положение относительно шаров центра тяжести конструкции не зависит от ориентации стержня в пространстве. Для решения задачи удобно расположить стержень горизонтально, как показано на рисунке 12. Пусть центр тяжести находится на расстоянии `L` от центра левого шара, т. е. от т. `A`. В центре тяжести приложена равнодействующая всех сил тяжести, и её момент относительно оси `A` равен сумме моментов сил тяжестишаров.
Имеем: `R=(m_1+m_2+m_3+m_4)g`, `RL=m_2ga+m_3g2a+m_4g3a`.
Отсюда `L=(m_2+2m_3+3m_4)/(m_1+m_2+m_3+m_4) a~~16,4` см.
Центр тяжести совпадает с центром масс и находится в точке `C` на расстоянии `L~~16,4` см от центра левого шара.
Центр масс
центр инерции, геометрическая точка, положение которой характеризует распределение масс в теле или механической системе. Координаты Ц. м. определяются формулами , где m к -
массы материальных точек, образующих систему, x k , у к, z k -
координаты этих точек, М
=
Σm к -
масса системы, ρ - плотность, V -
объём. Понятие о Ц. м. отличается от понятия о центре тяжести (См. Центр тяжести) тем, что последнее имеет смысл только для твёрдого тела, находящегося в однородном поле тяжести; понятие же о Ц. м. не связано ни с каким силовым полем и имеет смысл для любой механической системы. Для твёрдого тела положения Ц. м. и центра тяжести совпадают. При движении механической системы её Ц. м. движется так, как двигалась бы материальная точка, имеющая массу, равную массе системы, и находящаяся под действием всех внешних сил, приложенных к системе. Кроме того, некоторые уравнения движения механической системы (тела) по отношению к осям, имеющим начало в Ц. м. и движущимся вместе с Ц. м. поступательно, сохраняют тот же вид, что и для движения по отношению к инерциальной системе отсчёта (См. Инерциальная система отсчёта). Ввиду этих свойств понятие о Ц. м. играет важную роль в динамике системы и твёрдого тела. С. М. Тарг.
Большая советская энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . 1969-1978 .
Смотреть что такое "Центр масс" в других словарях:
- (центр инерции) тела (системы материальных точек), точка, положение которой характеризует распределение масс в теле или механической системе. При движении тела его центр масс движется как материальная точка с массой, равной массе всего тела, к… … Энциклопедический словарь
- (центр инерции) тела (системы материальных точек) точка, характеризующая распределение масс в теле или механическлй системе. При движении тела его центр масс движется как материальная точка с массой, равной массе всего тела, к которой приложены… … Большой Энциклопедический словарь
центр масс - механической системы; центр масс; отрасл. центр инерции Геометрическая точка, для которой сумма произведений масс всех материальных точек, образующих механическую систему, на их радиус векторы, проведенные из этой точки, равна нулю … Политехнический терминологический толковый словарь
То же, что центр инерции. Физический энциклопедический словарь. М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1983. ЦЕНТР МАСС … Физическая энциклопедия
У этого термина существуют и другие значения, см. Центр тяжести (значения). Центр масс, центр инерции, барицентр (от др. греч. βαρύς тяжёлый + κέντρον центр) (в механике) геометрическая точка, характеризующая движение тела или системы частиц как… … Википедия
центр масс - 3.1 центр масс: Точка, связанная с физическим телом и обладающая таким свойством, что воображаемый точечный объект массой, равной массе этого физического тела, будучи помещен в эту точку, имел бы тот же момент инерции относительно произвольной… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
Центр инерци и, точка С, характеризующая распределение масс в механич. системе. Радиус вектор Ц. м. системы, состоящей из материальных точек, где mi и ri масса и радиус вектор i й точки, а М масса всей системы. При движении системы Ц. м. движется … Большой энциклопедический политехнический словарь
- (центр инерции) тела (системы материальных точек), точка, положение к рой характеризует распределение масс в теле или механич. системе. При движении тела его Ц. м. движется как материальная точка с массой, равной массе всего тела, к к рой… … Естествознание. Энциклопедический словарь
Центр масс - (центр инерции) геометрическая точка, положение которой характеризует распределение масс в теле или механической системе … Физическая Антропология. Иллюстрированный толковый словарь.
Точка, характеризующая распределение масс в теле или механической системе. При движении тела (системы) его Ц. м. движется как материальная точка с массой, равной массе всего тела, к которой приложены все силы, действующие на это тело … Астрономический словарь
Книги
- , Вебер Альфред. Альфред Вебер - немецкий социолог, культуролог, историк, остро чувствующий характер и направленность социальной истории и политических веяний. Потрясенный свидетель двух катастроф европейской…
- Избранное. Кризис европейской культуры , Вебер А.. Альфред Вебер (1868-1958) - немецкий социолог, культуролог, историк, остро чувствующий характер и направленность социальной истории и политических веяний. Потрясенный свидетель двух катастроф…
Любая механическая система так же, как и любое тело обладает такой замечательной точкой как центр масс. Она есть у человека, автомобиля, Земли, Вселенной, т. е. у любого предмета. Очень часто эту точку путают с центром тяжести. Несмотря на то что они часто друг с другом совпадают, у них есть определенные различия. Можно сказать, что центр масс механической системы - это более обширное понятие по сравнению с ее центром тяжести. Что же это такое и как найти его местоположение в системе или в отдельно взятом объекте? Об этом как раз и пойдет речь в нашей статье.
Понятие и формула определения
Центр масс представляет собой некую точку пересечения прямых, параллельно которым воздействуют внешние силы, вызывая при этом поступательное движение данного объекта. Это утверждение является справедливым как для отдельного взятого тела, так и для группы элементов имеющих между собой определенную связь. Центр масс всегда совпадает с центром тяжести и является одной из важнейших геометрических характеристик распределения всех масс в исследуемой системе. Обозначим через m i массу каждой точки системы (i = 1,…,n). Положение любой из них можно описать тремя координатами: x i , у i , z i . Тогда очевидно, что масса тела (всей системы) будет равна сумме масс ее частиц: М=∑m i . А сам центр масс (O) можно будет определить через следующие соотношения:
X o = ∑m i *x i /M;
Y o = ∑m i *y i /M;
Z o = ∑m i *z i /M.
Чем же интересна данная точка? Одно из главных ее достоинств - это то, что она характеризует движение объекта как целого. Это свойство позволяет использовать центр массы в тех случаях, когда тело имеет большие габариты или неправильную геометрическую форму.
Что следует знать для нахождения данной точки
Практическое применение
Рассматриваемое понятие широко используется в различных областях механики. Обычно центр масс используют в роли центра тяжести. Последний представляет собой такую точку, подвесив объект, за который, можно будет наблюдать неизменность его положения. Центр масс системы нередко рассчитывают при проектировании различных деталей в машиностроении. Он также играет большую роль в обеспечении равновесия, что можно применить, к примеру, при создании альтернативных вариантов мебели, транспортных средств, в строительстве, в складском хозяйстве и т. д. Без знания основных принципов, по которым определяется центр тяжести, было бы сложно организовать безопасность работ с массивными грузами и любыми габаритными предметами. Надеемся, что наша статья оказалась полезной и ответила на все вопросы по данной теме.
Движение системы кроме действующих сил зависит также от ее суммарной массы и распределения масс. Масса системы (обозначаем М или ) равна арифметической сумме масс всех точек или тел, образующих систему.
распределение масс в системе определяется значениями масс ее точек и их взаимными положениями, т. е. их координатами Однако оказывается, что при решении тех задач динамики, которые мы будем рассматривать, в частности динамики твердого тела, для учета распределения масс достаточно знать не все величины , а некоторые, выражаемые через них суммарные характеристики. Ими являются: координаты центра масс (выражаются через суммы произведений масс точек системы на их координаты), осевые моменты инерции (выражаются через суммы произведений масс точек системы на квадраты их координат) и центробежные моменты инерции (выражаются через суммы произведений масс точек системы и двух из их координат). Эти характеристики мы в данной главе и рассмотрим.
Центр масс. В однородном поле тяжести, для которого g=const, вес любой частицы тела пропорционален ее массе. Поэтому о распределении масс в теле можно судить по положению его центра тяжести. Преобразуем формулы (59) из § 32, определяющие координаты центра тяжести тела, к виду, явно содержащему массу. Для этого положим в названных формулах , после чего, сократив на g, найдем:
В полученные равенства входят теперь массы материальных точек (частиц), образующих тело, и координаты этих точек. Следовательно, положение точки действительно характеризует распределение масс в теле или в любой механической системе, если под понимать соответственно массы и координаты точек системы.
Геометрическая точка С, координаты которой определяются формулами (1), называется центром масс или центром инерции механической системы.
Если положение центра масс определять его радиусом-вектором то из равенств (1) для получается формула
где - радиусы-векторы точек, образующих систему.
Из полученных результатов следует, что для твердого тела, находящегося в однородном поле тяжести, положения центра масс и центра тяжести совпадают. Но в отличие от центра тяжести понятие о центре масс сохраняет свой смысл для тела, находящегося в любом силовом поле (например, в центральном поле тяготения), и, кроме того, как характеристика распределения масс, имеет смысл не только для твердого тела, но и для любой механической системы.
Если бы мы не вычитали, а складывали уравнения (6.1), у нас получился бы просто закон сохранения импульса
Его можно переписать чисто формально как закон постоянства во времени некоторой скорости Vc:
Перейдем в систему отсчета, движущуюся со скоростью (6.4). Скорости частиц 1 и 2 при этом преобразуются следующим образом:
т. е. в новой системе отсчета они выражаются через скорость относительного движения. Свяжем скорость Vc с радиусом-вектором некоторой точки r с:
Отметим, что определение (6.6) совпадает с известным из школьного курса физики понятием центра тяжести. Для доказательства перенесем начало координат в точку r с. Тогда, совершенно аналогично (6.5), получим
Таким образом,
(центр тяжести определяется равенством произведений массы на «плечо»). Но определения (6.4) и (6.6) более корректны и более универсальны, поскольку без каких-либо проблем обобщаются на любое число материальных точек, а следовательно, и на макроскопические тела. Точку С в механике — и вообще в физике — принято называть центром масс или центром инерции системы материальных точек.
Пусть в некоторой инерциальной системе координат положения взаимодействующих материальных точек с массами m 1 , m 2 , m N задаются в каждый момент времени t посредством радиусов-векторов r 1 (t), r 2 (t), r N (t)
(см. рис. 6.3 а). Тогда центром масс рассматриваемой системы материальных точек называется такая точка, радиус-вектор которой R r 1 (t), r 2 (t), r N (t) материальных точек по
Подчеркнем, что в общем случае положение центра масс не совпадает с положением какой-либо из материальных точек системы (см. рис. 6.3 б), хотя иногда такое может и случиться.
Рис. 6.3 центром масс системы материальных точек называется такая точка, радиус-вектор которой R c(t) выражается через радиусы-векторы r 1 (t), r 2 (t), r N (t) материальных точек
Продифференцируем по времени левую и правую части равенства (6.7).
Производная радиуса-вектора по времени есть по определению скорость, так что в результате мы получаем
где Vc — скорость центра масс, v 1 , v 2 , v N — скорости материальных точек. Величина m 1 v 1 в (6.8) — импульс первой материальной точки, m 2 V 2 — импульс второй точки и т.д. Таким образом, в фигурных скобках выражения (6.8) стоит сумма импульсов рассматриваемой системы материальных точек, т. е. импульс Р всей системы.
Следовательно, равенство (6.8) можно переписать в виде Р = {m 1 + m 2 + m N }V c . (6.9)
В системе отсчета, где центр масс покоится,
Если нас не интересует относительное движение материальных точек, а интересует движение системы как целого, то тогда всю систему можно рассматривать как одну материальную точку, движущуюся со скоростью Vc и обладающую импульсом Р. Вспомним, что масса материальной точки есть, по определению, коэффициент пропорциональности между импульсом и скоростью. Поэтому стоящий в равенстве (6.9) коэффициент пропорциональности, заключенный в фигурные скобки, есть масса М рассматрваемой системы:
М = m 1 + m 2 + m N , (6.10)
т. е. масса системы материальных точек равняется сумме масс этих точек. Соотношение (6.10), согласно которому масса сложного тела равна сумме масс его частей, кажется нам привычным и очевидным. Однако, как мы еще убедимся, в релятивистской механике (т. е. в более общем случае) ситуация будет совершенно иной. В предельном случае ньютоновой механики равенство (6.10) представляет собой частный случай определенного физического закона — закона сохранения массы.
В отсутствие внешних сил, т. е. для замкнутой системы, сумма импульсов всех тел системы не зависит от времени; тогда из (6.9) следует важное свойство движения центра масс замкнутой системы материальных точек:
т. е. центр масс замкнутой системы материальных точек неподвижен или движется равномерно и прямолинейно , хотя каждая из материальных точек может совершать сложное движение. Приведенное выше утверждение называют иногда теоремой о движении центра масс.
Мы сейчас докажем следующее важное свойство кинетической энергии:
кинетическая энергия Т системы материальных точек равна сумме кинетической энергии всей массы системы, мысленно сосредоточенной в ее центре масс и движущейся вместе с ним, и кинетической энергии Т" той же системы в ее относительном движении по отношению к системе отсчета, движущейся вместе с центром масс:
где М = m 1 + m 2 + m N . Vc — скорость центра масс в исходной системе отсчета, v i — скорость i-ой материальной точки относительно системы отсчета, движущейся вместе с точкой С. Такую систему обычно называют «системой центра масс», «системой центра инерции» или просто «ц-системой». (Систему отсчета, в которой поставлена задача, если эта система не совпадает с ц-системой, принято называть лабораторной системой отсчета или л-системой).
Для доказательства получим вначале более общее соотношение, связывающее кинетическую энергию в двух системах отсчета (см. рис. 6.4). Для координат и скоростей точек в старой системе R i , V i и в новой системе r i , v i запишем преобразования Галилея :
где R — радиус-вектор перехода из старой системы в новую, а V — соответственно, скорость движения новой системы относительно старой.
Рис. 6.4 связь координат в двух системах отсчета
Тогда кинетическую энергию в старой системе отсчета можно представить в виде
(6.12)
Правую часть (6.12) можно представить в виде трех сумм:
где Р — полный импульс системы материальных точек в новой системе отсчета. Соотношение (6.13) принято называть теоремой Кенига. Если же новая система совпадает с ц-системой, то суммарный импульс в ней равен нулю, V = Vc, а значит, имеет место соотношение (6.11).
В заключение этого параграфа отметим два важных свойства, вытекающих из определения центра масс. Во-первых, частицы в (6.7) можно объединять в какие угодно группы, например:
Отсюда, как легко сообразить, следует, что центр масс любой системы макроскопических тел может быть найден как центр масс системы материальных точек, в предположении, что масса каждого тела сосредоточена в его собственном центре масс.
И во-вторых, от суммирования в (6.7) нетрудно перейти к интегрированию, если мы вычисляем положение центра масс тела с непрерывным распределением плотности вещества ρ(т):