Сюръекция, инъекция и биекция. Обратное отображение. Композиция отображений произведение множеств. График отображения. Отображения Пусть дано отображение тогда имеет вид
Элементы теории множеств
Понятие множества
В математике встречаются самые разнообразные множества . Можно говорить о множестве граней многогранника, точек на прямой, множестве натуральных чисел и т.д. Понятие множества относится к числу первоначальных понятий, которые не определяются через другие, более простые. Вместо слова ""множество"" иногда говорят ""совокупность"", ""собрание"" предметов и т.д. Предметы, составляющие данное множество, называются элементами данного множества.
Теория множеств посвящена в основном изучению именно бесконечных множеств . Теория конечных множеств называется иногда комбинаторикой .
Но простейшие свойства множеств, те, о которых мы только и будем здесь говорить, в большинстве случаев в равной мере относятся как к конечным, так и к бесконечным множествам.
Заметим, что в математике допускается к рассмотрению множество, не содержащее элементов – пустое множество. Запись а Î Х означает, что а есть элемент множества Х.
Определение. Множество В называется подмножеством множества А, если каждый элемент множества В является в то же время элементом множества А.
Каждый отдельный элемент множества А образует подмножество, состоящего из этого одного элемента. Кроме того, пустое множество является подмножеством всякого множества.
Подмножество множества А называется несобственным , если оно совпадает с множеством А.
Если множество В есть подмножество множества А, то говорим, что В содержится в А и обозначаем В Í А. Подмножество В множества А называется собственным подмножеством, если В не пусто и не совпадает с А (т.е. имеется элемент множества А, не содержащийся в В).
Операции над множествами
Пусть А и В – произвольные множества.
Определение. Объединением двух множеств А и В называется множество С = АÈВ, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А и В. (см. рис. 1).
Аналогично определяется объединение любого (конечного или бесконечного) числа множеств: если А i – произвольные множества, то их объединение есть совокупность элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств А i .
Рис.1 Рис.2
Определение. Пересечением множеств А и В называется множество С = АÇВ, состоящее из всех элементов, принадлежащих как А, так и В (см. рис. 2). Пересечением любого (конечного или бесконечного) числа множеств А i называется множество элементов, принадлежащих каждому из множеств А i .
Операции объединения и пересечения множеств по определению коммутативны и ассоциативны, т.е.
АÈВ = В È А, (А ÈВ) ÈС = А È (В È С),
А Ç В = В Ç А, (А Ç В) Ç С = А Ç (В Ç С).
Кроме того, они взаимно дистрибутивны:
(А È В) Ç С = (А Ç С) È (В Ç С), (1)
(А Ç В) È С = (А È С) Ç (В È С). (2)
Определение. Разностью множеств А и В называется множество тех элементов из А, которые не содержатся в В (рис. 3 ).
Понятие функции. Отображение множеств
Пусть X и Y – два произвольных множества.
Определение. Говорят, что на X определена функция f , принимающая значение из Y, если каждому элементу x Î X поставлен в соответствие один и только один элемент y Î Y. При этом множество X называется областью определения данной функции, а множество Y – её областью значений .
Для множеств произвольной природы вместо термина «функция» часто пользуются термином «отображение», говоря об отображении одного множества в другое.
Если а элемент из X, то соответствующий ему элемент b = f (а ) из Y называется образом а при отображении f . Совокупность всех тех элементов а из X, образом которых является данный элемент b Î Y, называется прообразом (или точнее полным прообразом ) элемента b и обозначается f –1 (b ).
Пусть А – некоторое множество из X; совокупность {f (а ): а Î А} всех элементов вида f (а ), где а Î А, называется образом А и обозначается f (А). В свою очередь для каждого множества В из Y определяется его полный прообраз f –1 (В), а именно: f –1 (В) есть совокупность всех тех элементов из X, образы которых принадлежат В.
Определение. Будем говорить, что f есть отображение множества X на множество Y, если f (X) = Y; такое отображение называют сюръекцией . В общем случае, т.е. когда f (X) Ì Y, говорят, что f есть отображение в Y. Если для любых двух различных элементов х 1 и х 2 из X их образы y 1 = f (x 1) и y 2 = f (x 2) также различны, то f называется инъекцией. Отображение f : X®Y, которое одновременно является сюръекцией и инъекцией, называется взаимно однозначным соответствием междуX и Y.
Изучим теперь некоторые вопросы, связанные с отношениями между множествами.
Будем говорить, что между множествами изаданоотношение (инаходятся в отношении), если некоторым (возможно всем) элементам изсоответствуют некоторые элементы из. Если множествонаходится в отношениис множеством, то будем писать:
Если при этом элементу ставится в соответствие элемент, то обозначать это будем
Определение 1.1.2. Отношение между множествамииназываетсяотображением , если каждому изпоставлен в соответствие один и только один элементиз(см. рис. 1.1.2. и 1.1.3). При специализации природы множествивозникают специальные типы отображений, которые носят особые названия “функция”," вектор-функция", "оператор", "мера", "функционал" и т.д. Мы столкнемся с ними в дальнейшем.
Для обозначения функции (отображения) из вбудем пользоваться записью
Рис.1.1.2. Отображение Рис.1.1.3.Отношение, не являющееся
отображением
Определение 1.1.3 . Если - элемент из, то отвечающий ему элементиз, называется его образом (при отображении), а множество всех тех, для которых, называется прообразоми обозначается(см.рис.1.1.4).
Рис.1.1.4. Прообраз b
Определение 1.1.4. Отображение называетсявзаимно однозначным отображением , если каждый элемент из имеет единственный образ при отображениии каждый элемент изимеет единственный прообраз при этом отображении.
Рис.1.1.5. Взаимно однозначное отображение
Мы в дальнейшем будем рассматривать только отображения, поскольку имеются приемы, сводящие многозначные отображения к однозначным, которые мы называем просто отображениями.
Понятие отображения играет важнейшую роль в математике, в частности в математическом анализе центральное место занимает понятие функции , которой называется отображение одного числового множества в другое.
1.7. Мощность множества
При исследовании отношений между множествами большой интерес представляет "объем" множеств, число элементов в них. Но разговор о числе элементов понятен и обоснован, если это число конечное. Множества, состоящие из конечного числа элементов, будем называть конечными . Однако, многие из множеств, рассматриваемых в математике, не являются конечными, например, множество действительных чисел, множество точек на плоскости, множество непрерывных функций, заданных на некотором отрезке и т.д. Для количественной характеристики бесконечных (да и конечных) множеств в теории множеств используется понятие мощности множества .
Будем говорить, что множества иимеютодинаковую мощность , если существует взаимно однозначное отображение множества на множество(заметим, что в этом случае существует и взаимно однозначное отображение множества B на множество A).
Если множества иимеют одинаковую мощность, то будем говорить, что ониэквивалентны , это обозначается: .
Пусть - произвольные множества, тогда
т.е. любое множество эквивалентно самому себе; если множество эквивалентно множеству, тоэквивалентно; если, наконец, множествоэквивалентно множеству, которое эквивалентно множеству, тоэквивалентно.
Множество, эквивалентное некоторому своему собственному подмножеству, называется бесконечным .
Если конечные множества имеют разное число элементов, то ясно, что одно из них содержит меньше элементов, чем другое. А как сравнить в этом смысле бесконечные множества? Будем говорить, что мощность множества меньше мощности множества, если существует подмножество множества, эквивалентное множеству, но сами множестваине являются эквивалентными.
Мощность конечного множества равна числу его элементов. Для бесконечных множеств понятие "мощность" является обобщением понятия "количество элементов".
Укажем некоторые, полезные для дальнейшего, классы множеств.
Множество называется счетным , если оно имеет такую же мощность как и некоторое подмножество множества (множества натуральных чисел). Счетное множество может быть конечным или бесконечным.
Бесконечное множество является счетным тогда и только тогда, когда оно эквивалентно множеству натуральных чисел .
Заметим, что любое множество, мощность которого меньше мощности бесконечного счетного множества, является конечным.
Множество действительных чисел на отрезке от нуля до единицы имеет мощность континуум , и само часто называется континуумом . Мощность этого множества больше мощности бесконечного счетного множества. Возникает вопрос: имеется ли множество, мощность которого больше мощности бесконечного счетного множества, но меньше мощности континуум. Эта задача была сформулирована в 1900 году одним из крупнейших математиков мира Давидом Гильбертом. Оказалось, что эта задача имеет несколько неожиданный ответ: можно считать, что такое множество существует, а можно считать, что его не существует. Получающиеся при этом математические теории будут непротиворечивыми. Доказательство этого факта было доложено американским ученым Коэном в 1965 году на всемирном конгрессе математиков в Москве. Отметим, что ситуация с этой задачей напоминает ситуацию с пятым постулатом Евклида: через точку, лежащую вне данной прямой можно провести только одну прямую, параллельную данной. Как показал Лобачевский, отказ от этого постулата не приводит к противоречиям. Мы можем строить геометрию, для которой этот постулат имеет место, и геометрии, для которых он не верен.
В заключение приведем несколько примеров, демонстрирующих методику доказательства эквивалентности множеств.
Пример 1.11. Множество целых чисел счетное.
Понятно, что рассматриваемое множество бесконечное (множество натуральных чисел является его подмножеством).
Для доказательства счетности множества целых чисел надо построить взаимно однозначное отображение между множеством натуральных чисел и рассматриваемым множеством. Требуемое отображение задается правилом: расположим целые числа следующим образом:
и перенумеруем их натуральными числами, присвоив им номера (они указаны рядом с рассматриваемыми целыми числами). Очевидно, что каждое целое число получит свой номер, при этом разные числа получат разные номера. Верно и обратное: для каждого натурального числа (для каждого номера) найдется и при том единственное целое число, стоящее под этим номером. Таким образом, требуемое взаимно однозначное отображение построено.
Пример 1.12 . Множество рациональных чисел счетное.
Известно, что любое рациональное число можно представить в виде несократимой дроби p/q, используя это представление расположим рациональные числа в соответствии со схемой:
. . . . . .
Перенумеруем эти числа примерно так же, как и в предыдущем примере (номера указаны сверху в скобках рядом с числами). Нетрудно убедиться в том, что сформулированное правило нумерации рациональных чисел дает требуемое взаимно однозначное отображение множества натуральных чисел в множество рациональных чисел.
Пример 1.13 . Объединение счетного множества счетных множеств есть множество счетное.
Доказательство этого факта аналогично доказательству утверждения предыдущего примера.
В заключение приведем важное для дальнейшего утверждение. Но для этого нам потребуется еще одна операция над множествами.
Прямым произведением множеств и(декартовым произведением ) называется множество всех упорядоченных пар , гдеи. Это множество обозначается. Таким образом:
Обозначим , произведениесомножителейбудем обозначать.
Теорема 1.1 . для любого бесконечного множестваБолее того.
В частности , т.е. множество точек на прямой имеет такую мощность, что и множество точек на плоскости. Более того, точек в пространстве столько, сколько и на прямой.
На этом мы заканчиваем знакомство с основными понятиями математической логики и теории множеств - основ современной математики. Отметим, что многие аспекты этих теорий остались, к сожалению, за рамками этой главы, познакомиться с ними можно, например, по и .
Пусть $X$ и $Y$ - два произвольных множества.
Определение. Соответствие, при котором каждому из элементов множества $X$ сопоставялется единственный элемент из множества $Y$, называется отображением .
Обозначение отображения из множества $X$ в множество $Y$: $X \stackrel{f}{\longrightarrow} Y$.
Множество $X$ называется областью определения отображения и обозначается $X=D(f)$.
$E(f)$ называется множеством значений отображения, и $E(f) = \{ y \in Y \; | \; \exists x \in X, y = f(x) \}$.
Множество $\Gamma(f)$ называется графиком отображения. $\Gamma(f)=\{(x,y) \in X \times Y, y=f(x), \forall x \in X, y \in Y \}$.
Пусть $f$ - некоторое отображение из множества $X$ в множество $Y$. Если $x$ при этом отображении сопоставляется $y$, то $y=f(x)$. При этом $y$ называется образом $x$, или значением отображения $f$ в точке $x$. А $x$, соответственно, прообразом элемента $y$.
Исходя из определения отображения, видно, что не требуется, чтобы все элементы в множестве $Y$ являлись образами какого-либо $x$ и при том единственного.
Пример.
Даны два множества $X=\{ с, е, н, т, я, б, р, ь \}$ и $Y=\{ 1, 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11 \}$
Отображение из множества $X$ в множество $Y$ имеет следующий вид:
$\begin{matrix} \{ с, & е, & н, & т, & я, & б, & р, & ь \} \\ \;\; \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow \;\; \\ \{ 1, & 2, & 3, & 4, & 5, & 9, & 10, & 11 \} \end{matrix}$
Определение. Совокупность всех элементов из множества $X$, образом которых является $y$ из $Y$, назвается полным прообразом $y$ из $X$. Обозначается: $f^{-1}(y)$.
Определение. Пусть $A \subset X$. Совокупность всех элементов $f(a)$, $a \in A$, называется полным образом множества $A$ при отображении $f$.
Определение. Пусть $B \subset Y$. Множество всех элементов из $X$, образы которых принадлежат множеству $B$, называется полным прообразом множества $B$.
Пример.
$X=Y=R$, $y=x^2$.
$A=[-1; 1] \subset X$
Полный образ $f(A)=$
$B= \subset Y$
Полный прообраз $f^{-1}(B)=[-1; 1]$
Определение. Отображение $f$ называется инъективным отображением, если $\forall \; y \in Y$ $y=f(x)$ является образом единственного $x$.
Определение. Отображение $f$ называется сюръективным отображением, если все элементы в множестве $Y$ являются образами какого-либо $x$. (Это отображение множества $X$ на множество $Y$).
Определение. Отображение $f$ называется биективным , если оно инъективно и сюръективно, в противном случае такое отображение назвается взаимно однозначным соответствием.
Определение. Множества $X$ и $Y$ называются эквивалентными (равномощными), если они находятся во взаимно однозначном соответствии. Обозначается: $X Y$ (множество $X$ эквивалентно множеству $Y$ или множество $X$ равномощно множеству $Y$).
1. Граф соответствия. Отображение. Инъективное, не сюръективное.
Понятие отображения множеств играет важную роль во всех областях математики.
Определение
1. ПустьХ
иY
– некоторые множества и.
Если каждому элементу
поставлен в соответствие один и только
один элемент
,
то говорят, что заданоотображение
из Х
в
Y
с областью задания А
.
Отображения обычно обозначают малыми
латинскими буквами
.
Пример
1. ПустьХ
– множество
натуральных чисел,.
Каждому числу
поставим в соответствие остаток от его
деления на 2:
.
Получим отображение изХ
в множество
действительных чиселR
,
при котором каждому
соответствует либо 0, либо 1.
Множество Х называют такжемножеством отправления , а множествоY –множеством прибытия .
Определение
2. Элемент
,
соответствующий элементу
в отображенииf
,
называетсяобразом
элементах
и обозначается
.
При этом сам элементх
называетсяпрообразом
элементау
. ЕслиА
– область задания при отображенииf
, то множествоназываютобразом множества А
при отображенииf
илиобластью значений
отображенияf
.
Определение
3. Если область задания
совпадает с областью отправления, т.е
,
тоf
называют
отображением
Х
вY
обозначают
.
Если
,
тоf
называют
отображениемХ
на
Y
.
Определение
4. Отображение
называетсяобратимым
, если
разным элементам
,
т.е. для любых
имеем
.
Например, отображение
с областью заданияR
не является обратимым, так как
и
,
т.е.
,
хотя
.
Определение 5. Обратимое отображениеХ наY называетсявзаимно однозначным отображением.
Введенные понятия проиллюстрируем рисунками.
f
не является
отображением
Пусть f
– обратимое
отображение изХ
вY
с областью заданияА
. Тогда
каждому элементу
соответствует один и только один элемент
,
причем разным элементам
соответствуют различные элементыу
.
Поэтому определено отображение
множества
вХ
(наА
). Определено так, что.
Определение
6. Если отображениеf
изХ
вY
обратимо, то отображение
изY
вХ
,
определяемое соотношением,
называетсяобратным к
f
.
Пусть теперь f
–
отображениеХ
вY
,
аg
– отображениеY
вZ
. Определим
отображениеХ
вZ
следующим образом:.
Таким образом,
,
то есть
.
Такое отображение называетсякомпозицией
отображенийf
иg
и обозначается
.
Итак, для всех
Операция композиции отображений обладает следующими свойствами.
Ассоциативность:
Действительно, если
,
то
.
Действительно, пусть
и
.
В силу обратимостиf
.
В силу обратимостиg
и, значит, отображение
обратимо. Если
,
то
,
а,
то есть,
что и требовалось доказать.
Действительная функция есть частный случай отображения, когда множества X иY являются числовыми множествами.
Определение
7. ПустьX
– числовое множество. Отображение
,
сопоставляющее каждому числу
число
,
называетсядействительной
функцией,
заданной на множествеХ
. При этомх
называетсяаргументом
функцииf
,Х
–областью ее определения
,
–значением
функции. Множество
называетсямножеством значений
функции.
Определение
8. Если функцияf
ставит в соответствие каждому числу
одно и то же значениеа
, то функциюf
называютпостоянной
.
Из определения действительной функции
следует, что для задания функции f
надо задать ее область определения
– множествоХ
и закон, по которому
каждому числу
ставится в соответствие число
.
В зависимости от того, каким образом задается закон функциональной зависимости, различают несколько способов задания функции.
Аналитический способ. Закон функциональной зависимости задается с помощью формулы, указывающей, какие действия нужно произвести над аргументомх , чтобы получить значение функции.
Примеры:
и т.д.
В случае аналитического способа задания функции множество Х часто не указывают. Областью определения функции в этом случае считаютестественную область определения функции – множество значений аргумента, для которых имеет смысл данное аналитической выражение.
Например, для функции
область определения
,
для функции
.
Если функция отражает зависимость между
конкретными величинами (физическими,
геометрическими и другими), то область
ее определения может не совпадать с той
областью, где формула имеет смысл.
Например, функция
,
рассматриваемая абстрактно, определена
наR
, если же она
выражает закон свободного падения тела,
то
.
Заметим, что функция может быть задана не одной, а несколькими формулами.
Например,
Для этой функции
.
Табличный способ. При этом способе задания закон функциональной зависимости устанавливается таблицей, в которой различным значениям аргумента сопоставлены соответствующие значения функции.
Табличный способ используется в экспериментальных исследованиях, когда, например, снимаются показания приборов через определенные промежутки времени.
Составлены таблицы значений многих функций, часто применяемых при технических расчетах, которые позволяют находить значения функций без вычислений.
Недостаток табличного способа состоит в том, что по таблице можно найти значения функции только для тех значений аргумента, которые в ней есть. Другие значения можно находить с помощью интерполирования приближенно.
Графический способ.
Определение
9.Графиком
функции
,
заданной на множествеХ
, называется
множество всех точек плоскости
,
координаты которыхх
иу
связаны
соотношением
.
Равенство
называетсяуравнением
этого
графика.
Функция считается заданной графически, если начерчен ее график. Например, для измерения давления атмосферы на различных высотах используется специальный самопишущий аппарат – барограф, который на движущейся ленте записывает в виде кривой изменение давления в зависимости от высоты.
Не всякая кривая может служить графиком некоторой функции. Необходимо, чтобы не содержалось на ней никаких двух точек с одинаковыми абсциссами.
Кривая определяет Кривая не определяет
функцию никакой функции
Преимущество графического способа задания функции перед другими – в наглядности, недостаток в том, что значения функции можно найти лишь приближенно. Не для всякой функции можно построить график. Например, нельзя изобразить графически функцию Дирихле (Петер Густав Лежен-Дирихле (1805-1859) – немецкий математик)
так как между любыми двумя значениями х имеется бесконечно много как рациональных, так и иррациональных точек.
Словесный способ. Функция задается словами. Например, целая часть числах – это наибольшее целое число, не превосходящеех.
Определение
10. Функции
и
,
заданные на некотором промежуткеХ
,
называютсятождественно равными
на
этом промежутке:
,
если их значения в каждой точке
совпадают.
Пример . Тождественны ли функции:
1)
и
;
2)
и
для
;
3)
и
?
Решение. 1), т.е., т.е. функции тождественно равны.
2)
по свойству
.
3)
,
т.е.
,
функции не являются тождественно
равными.
Пусть заданы два множества X и У. Определение 2.1. Отображением f множества X в множество У, или функцией, определенной на множестве X со значениями в множестве У, называют соответствие, которое каждому элементу х£Х соотносит некоторый единственный элемент у € У. Множество X называют областью определенил функции / и обозначают D(f), элемент хбХ - аргументом функции, а элемент у £ У - зависшим* перелсенныл. При этом элемент у £ У, соответствующий элементу z £ X, именуют образом элемента х при отображении / или значением функции f в точке х и обозначают f(x). Областью значений функции / (или образом множества X при отображении /) называют множество обозначаемое Д(/). Множество X = D(f) является прообразом множества f(X) = R(f) при отображении /. При заданном элементе у £ У совокупность всех таких элементов х 6 Xу что f(x) = у, называют прообразом элемента у и обозначают /-1(у), т.е. Факту задания отображения (или функции) соответствует запись / : X У, или /: х у, или просто у = /(я). Таким образом, Часто функцию / обозначают /(ж). Обозначение функции и ее значения в точке х € X одним и тем же символом f(x) обычно не вызывает недоразумений, поскольку в каждом конкретном случае, как правило, ясно, что имеют в виду. Обозначение f(x) часто удобнее, чем f:x-+y. Например, -при аналитических преобразованиях запись f(x) = х2 удобнее по сравнению с / : х -> х2. Чтобы отличать обозначение конкретного значения f(x) функции при конкретном значении ее аргумента х от обозначения самой функции, в последнем случае иногда пишут /(я), х еХ. Итак, понятие функции состоит из трех неотъемлемых частей: 1) области определения Х\ 2) множества У, содержащего значения функции; 3) правила /, которое для каждого элемента х £ X задает единственный элемент у = f(x) £ У. На множества X и Y определение 2.1 не накладывает никаких ограничений. В зависимости от того, какими являются эти множества, получим тот или иной класс функций. Так, если Y С R, то f(x) называют действительной (или скалярной) функцией, а если У С Rn, то f(x) называют векторной функцией. Когда область определения X функции f(x) есть множество R или некоторое его подмножество, f(x) именуют функцией действительного (или вещественного) переменного. Когда и XCR.h У CR, f(x) называют действительной функцией действительного переменного. Если областью определения функции является множество натуральных чисел N= {1, 2, ...}, то ее называют последовательностью элементов множества У и обозначают Уп] или {уп}, имея в виду, что уп = /п = /(п)€У при n€ N, а при У С R - числовой последовательностью (или просто последовательностью). Подмножество является образом подмножества А С X при отображении / : X У. Для образов подмножеств Л С X и В С X справедливы соотношения а в случае Л С В Подмножество будет прообразом подмножества S С У при отображении f:X->Y. Итак, прообраз множества 5 состоит из всех тех элементов х € Xу которые функция / отображает в элементы из S, или, что то же самое, прообраз множества 5 состоит из всех прообразов элементов у G 5, т.е. Для прообразов множеств 5 С У и Г С У справедливы соотношения, и при условии S СТ /-1(S) С /-1(Г). В случае А С X отображение / : X порождает отображение /д: А Y) определяемое формулой /а(«) = f(x) для х € А. Это отображение называют сужением отображения (функции) f на множество А. Говорят также, что f является продолжением отображения (функции) fA множества А в множество Y на множество X, но обычно продолжают писать / вместо