Второе уравнение фика. Напряжение газов в крови капилляров легких. Скорость диффузии кислорода и углекислого газа в легких. Уравнение Фика. Вакансионный и межузельный механизмы диффузии
Примером диффузии может служить перемешивание газов (например, распространение запахов) или жидкостей (если в воду капнуть чернил, то жидкость через некоторое время станет равномерно окрашенной). Другой пример связан с твёрдым телом: атомы соприкасающихся металлов перемешиваются на границе соприкосновения. Важную роль диффузия частиц играет в физике плазмы .
Скорость протекания диффузии зависит от многих факторов. Так, в случае металлического стержня тепловая диффузия проходит с огромной скоростью. Если же стержень изготовлен из синтетического материала, тепловая диффузия протекает медленно. Диффузия молекул в общем случае протекает ещё медленнее. Например, если кусочек сахара опустить на дно стакана с водой и воду не перемешивать, то пройдёт несколько недель, прежде чем раствор станет однородным. Ещё медленнее происходит диффузия одного твёрдого вещества в другое. Например, если медь покрыть золотом , то будет происходить диффузия золота в медь, но при нормальных условиях (комнатная температура и атмосферное давление) золотосодержащий слой достигнет толщины в несколько микронов только через несколько тысяч лет. Другой пример: на золотой слиток был положен слиток свинца, и под грузом за пять лет свинцовый слиток проник в золотой слиток на сантиметр.
∂ C ∂ t = ∂ ∂ x D ∂ C ∂ x . {\displaystyle {\frac {\partial C}{\partial t}}={\partial \over \partial x}D{\frac {\partial C}{\partial x}}.}Коэффициент диффузии D {\displaystyle D} зависит от температуры. В ряде случаев в широком интервале температур эта зависимость представляет собой соотношение Эйнштейна .
Дополнительное поле, наложенное параллельно градиенту химического потенциала, нарушает стационарное состояние . В этом случае диффузионные процессы описываются нелинейным уравнением Фоккера - Планка . Процессы диффузии имеют большое значение в природе:
- питание, дыхание животных и растений;
- проникновение кислорода из крови в ткани человека.
Геометрическое описание уравнения Фика
Во втором уравнении Фика в левой части стоит скорость изменения концентрации во времени, а в правой части уравнения - вторая частная производная, которая выражает пространственное распределение концентрации, в частности, выпуклость функции распределения температуры, проецируемую на ось x {\displaystyle x} .
Уравнения Онзагера для многокомпонентной диффузии и термодиффузии
Законы Фика применимы для случая малых значений концентраций n {\displaystyle n} и градиентов концентрации − ∇ n {\displaystyle -\nabla n} .
Транспортное уравнение в таком случае может быть записано в следующем виде:
∂ n i ∂ t = − d i v J i = − ∑ j ≥ 0 L i j d i v X j = ∑ k ≥ 0 [ − ∑ j ≥ 0 L i j ∂ 2 s (n) ∂ n j ∂ n k | n = n ∗ ] Δ n k . {\displaystyle {\frac {\partial n_{i}}{\partial t}}=-{\rm {div}}\mathbf {J} _{i}=-\sum _{j\geq 0}L_{ij}{\rm {div}}X_{j}=\sum _{k\geq 0}\left[-\sum _{j\geq 0}L_{ij}\left.{\frac {\partial ^{2}s(n)}{\partial n_{j}\partial n_{k}}}\right|_{n=n^{*}}\right]\Delta n_{k}\ .}Здесь индексы i , j , k = 0 , 1 , 2... {\displaystyle i,~j,~k=0,1,2...} относятся к внутренней энергии (0) и разным компонентам. Выражение в квадратных скобках является матрицей D i k {\displaystyle D_{ik}} диффузионных( i , k > 0 {\displaystyle i,~k>0} ), термодиффузионных ( i > 0 {\displaystyle i>0} , k = 0 ∨ k > 0 , i = 0 {\displaystyle k=0\lor k>0,~i=0} ) и температуропроводных ( i = k = 0 {\displaystyle i=k=0} ) коэффициентов.
В изотермическом случае ( T = c o n s t {\displaystyle T=const} ) и термодинамический потенциал выражается через свободную энергию (или свободную энтропию (англ.) русск. ). Термодинамическая движущая сила для изотермичной диффузии определяется отрицательным градиентом химического потенциала − (1 / T) ∇ μ j {\displaystyle -(1/T)\nabla \mu _{j}} , и матрица диффузионных коэффициентов выглядит следующим образом:
D i k = 1 T ∑ j ≥ 1 L i j ∂ μ j (n , T) ∂ n k | n = n ∗ {\displaystyle D_{ik}={\frac {1}{T}}\sum _{j\geq 1}L_{ij}\left.{\frac {\partial \mu _{j}(n,T)}{\partial n_{k}}}\right|_{n=n^{*}}}( i , k > 0 {\displaystyle i,~k>0} ).
Существует произвол в выборе определения для термодинамических сил и кинетических коэффициентов, поскольку мы не можем измерить их отдельно, а только их комбинацию ∑ j L i j X j {\displaystyle \sum _{j}L_{ij}X_{j}} . Например, в оригинальной работе Онзагер использовал дополнительный множитель ( T {\displaystyle T} ), тогда как в курсе теоретической физики Ландау и Лифшица этот множитель отсутствует и сила имеет противоположный знак. Это различие можно учесть в формулах для вывода коэффициентов так, что они не повлияют на результаты измерения.
Недиагональная диффузия должна быть нелинейной
Формализм линейной необратимой термодинамики (Онзагера) генерирует систему линейных уравнений диффузии в виде
∂ n i ∂ t = ∑ j D i j Δ c j . {\displaystyle {\frac {\partial n_{i}}{\partial t}}=\sum _{j}D_{ij}\Delta c_{j}\,.}Если матрица коэффициентов диффузии диагональна, то эта система уравнений является лишь системой независимых уравнений Фика для различных компонент. Предположим, что диффузия не является диагональной, например, D 12 ≠ 0 {\displaystyle D_{12}\neq 0} , и рассмотрим состояние, в котором c 2 = … = c n = 0 {\displaystyle c_{2}=\ldots =c_{n}=0} . В этом состоянии ∂ n 2 / ∂ t = D 12 Δ n 1 {\displaystyle \partial n_{2}/\partial t=D_{12}\Delta n_{1}} . Если в некоторой точке D 12 Δ n 1 (x) < 0 {\displaystyle D_{12}\Delta n_{1}(x)<0} то n 2 (x) {\displaystyle n_{2}(x)} в течение короткого времени становится отрицательным в этой точке. Поэтому линейная недиагональная диффузии не сохраняет положительность концентраций. Недиагональные уравнения многокомпонентной диффузии должны быть нелинейными
Оглавление темы "Вентиляция легких. Перфузия легких кровью.":1. Вентиляция легких. Вентиляция кровью легких. Физиологическое мертвое пространство. Альвеолярная вентиляция.
2. Перфузия легких кровью. Влияние гравитации на вентиляцию легких. Влияние гравитации на перфузию легких кровью.
3. Коэффициент вентиляционно-перфузионных отношений в легких. Газообмен в легких.
4. Состав альвеолярного воздуха. Газовый состав альвеолярного воздуха.
6. Транспорт газов кровью. Транспорт кислорода. Кислородная емкость гемоглобина.
7. Сродство гемоглобина к кислороду. Изменение сродства гемоглобина к кислороду. Эффект Бора.
8. Углекислый газ. Транспорт углекислого газа.
9. Роль эритроцитов в транспорте углекислого газа. Эффект Холдена..
10. Регуляция дыхания. Регуляция вентиляции легких.
Диффузия газов через альвеолярную мембрану происходит между альвеолярным воздухом и венозной, а также артериальной кровью легочных капилляров. В табл. 10.2 приведены стандартные величины напряжения дыхательных газов в артериальной и венозной крови легочных капилляров.
Таблица 10.2. Напряжение дыхательных газов в артериальной и венозной крови легочных капилляровГрадиенты парциального давления кислорода и углекислого газа обусловливают процесс пассивной диффузии через альвеолярную мембрану кислорода из альвеол в венозную кровь (градиент 60 мм рт. ст.), а углекислого газа - из венозной крови в альвеолы (градиент 6 мм рт. ст.). Парциальное давление азота по обе стороны альвеолярной мембраны остается постоянным, поскольку этот газ не потребляется и не продуцируется тканями организма. При этом сумма парциального давления всех газов, растворенных в тканях организма, меньше, чем величина атмосферного давления, благодаря чему газы в тканях не находятся в газообразной форме. Если величина атмосферного давления будет меньше, чем парциальное давление газов в тканях и в крови, то газы начинают выделяться из крови в виде пузырьков, вызывая тяжелые нарушения в кровоснабжении тканей организма (кессонная болезнь).
Скорость диффузии 02 и С02 в легких
Скорость диффузии (M/t) кислорода и углекислого газа через альвеолярную мембрану количественно характеризуется законом диффузии Фика . Согласно этому закону газообмен (M/t) в легких прямо пропорционален градиенту (ДР) концентрации 02 и С02 по обе стороны от альвеолярной мембраны, площади ее поверхности (S), коэффициентам (к) растворимости 02 и С02 в биологических средах альвеолярной мембраны и обратно пропорционален толщине альвеолярной мембраны (L), а также молекулярной массе газов (М). Формула этой зависимости имеет следующий вид:
Структура легких образует максимальное по величине поле для диффузии газов через альвеолярную стенку, которая имеет минимальную толщину (рис. 10.16). Так, количество альвеол в одном легком человека приблизительно равно 300 млн. Суммарная площадь альвеолярной мембраны, через которую происходит обмен газов между альвеолярным воздухом и венозной кровью, имеет огромные размеры (порядка 100 м2), а толщина альвеолярной мембраны составляет лишь - 0,3-2,0 мкм.
В обычных условиях диффузия газов через альвеолярную мембрану происходит в течение очень короткого отрезка времени (не более 3/4 с), пока кровь проходит через капилляры легких. Даже при физической работе, когда эритроциты проходят капилляры легкого в среднем за 1/4 с, указанные выше структурные особенности альвеолярной мембраны создают оптимальные условия для формирования равновесия парциальных давлений 02 и С02 между альвеолярным воздухом и кровью капилляров легких (рис. 10.17). В уравнении Фика константы диффузии (к) пропорциональны растворимости газа в альвеолярной мембране. Углекислый газ имеет примерно в 20 раз большую растворимость в альвеолярной мембране, чем кислород. Поэтому, несмотря на существенное различие в градиентах парциальных давлений 02 и С02 по обе стороны от альвеолярной мембраны, диффузия этих газов совершается за очень короткий отрезок времени движения эритроцитов крови через легочные капилляры.
Рис. 10.16. Диффузия газов через альвеолярную мембрану . Диффузия газов в легких осуществляется по градиентам концентрации 02 и С02 между альвеолярным пространством и кровью капилляров легких, которые разделены альвеолярной мембраной. При этом диффузия тем эффективнее, чем тоньше альвеолярная мембрана и области контакта альвеолоцитов и эндотелиоцитов. Поэтому альвеолярная мембрана образована уплощенными частями альвеолоцитов I порядка (0,2 мкм) и эндотелиоцитов капилляров легких (0, 2 мкм), между которыми находится тонкая общая базальная мембрана (0,1 мкм) этих клеток. В состав мембраны входит также мономолекулярный слой сурфактант а. Мембрана эритроцитов является препятствием для диффузии газов в легких.
Газообмен через альвеолярную мембрану количественно оценивается диффузионной способностью легких, которая измеряется количеством газа (мл), проходящего через эту мембрану за 1 мин при разнице давления газа по обе стороны мембраны в 1 мм рт. ст.
Рис. 10.17. Градиенты парциального давления дыхательных газов в смешанной венозной крови легочной артерии, альвеолярном воздухе и артериальной крови . Равновесие парциальных давлений углекислого газа и кислорода между альвеолярным воздухом и кровью легочных капилляров достигается в течение короткого времени (1/4-3/4 с) движения плазмы крови и эритроцитов в капиллярах легких.
Наибольшее сопротивление диффузии 02 в легких создают альвеолярная мембрана и мембрана эритроцитов, в меньшей степени - плазма крови в капиллярах. У взрослого человека в покое диффузионная способность легких 02 равна 20-25 мл мин-1 мм рт. ст.-1. С02, как полярная молекула (0=С=0), диффундирует через указанные мембраны чрезвычайно быстро, благодаря высокой растворимости этого газа в альвеолярной мембране Диффузионная способность легких С02 равна 400-450 мл мин-1 мм рт. ст.-1.
Все виды переноса веществ через мембрану можно разделить на пассивный и активный транспорт . Пассивный транспорт веществ это вид транспорта, который осуществляется без затрат энергии. Имеются следующие видыпассивного транспорта веществ в клетках и тканях: диффузия, осмос, электроосмос и аномальный осмос, фильтрация.
Пусть Ф – потоквещества, с – его концентрация, m - электрохимический потенциал, u – подвижность, D – диффузия, и u=D/RT. Тогда взаимосвязь между перечисленными величинами может быть найдена с помощью уравнения Теорелла:
Ф = - с u dm/dx (1)
Согласно уравнению Теорелла поток вещества Ф равен произведению концентрации носителя на подвижность и на градиент его электрохимического потенциала. Знак “минус” указывает на то, что поток направлен в сторону убывания m..
Основным механизмом пассивного транспорта веществ, обусловленным наличием концентрационного градиента, является диффузия. Диффузия -это самопроизвольный процесс проникновения вещества из области большей в область меньшей его концентрации в результате теплового хаотического движения молекул. Математическое описание процесса диффузии дал Фик. Согласно закону Фика, скорость диффузии dm/dt прямо пропорциональна градиенту концентрации dC/dx, и площади S, через которую осуществляется диффузия:
Ф = dm/dt = - DS dC/dx (2)
Где Ф – это поток вещества, численно равный количеству вещества диффундирующему через данную площадь в единицу времени . Плотность потока j = Ф/S – это количество вещества диффундирующего через единицу площади в единицу времени. Под скоростью диффузии понимают количество вещества (в молях или других единицах), диффундирующего в единицу времени через данную площадь. Градиент концентрации-это изменение концентрации С вещества, приходящееся на единицу длины, в направлении диффузии . Знак минус в правой части уравнения (2) показывает, что диффузия происходит из области_большей концентрации, в область_меньшей концентрации вещества. Коэффициент пропорциональности D в уравнении (2) называется коэффициентом диффузии. Его физический смысл легко выяснять, если S и dC/dx приравнять к единице. Коэффициент диффузии численно равен количеству вещества, диффундирующего в единицу времени через единицу площади при градиенте концентрации, равном единице . Коэффициент диффузии зависит, от природы вещества и от температуры. Он характеризует способность вещества к диффузии.
Так как концентрационный градиент клеточной мембраны определить трудно, то для описания диффузии веществ через клеточные мембраны пользуются более простым уравнением:
dm/dt = - PS (C 1 – C 2) (3), где Р = D/ d
где C 1 и C 2 - концентрации вещества по разные стороны мембраны; Р - коэффициент проницаемости, аналогичный коэффициенту диффузии, d – толщина мембраны. В отличие от коэффициента диффузии, который зависит только от природы вещества и температуры, Р зависит еще и от свойств мембраны и от ее функционального состояния.
Простая и облегченная диффузия.
Диффузия -это самопроизвольный процесс проникновения вещества из области большей в область меньшей его концентрации в результате теплового хаотического движения молекул.
Различают несколько типов пассивного переноса веществ (диффузии):
1. простая диффузия.
2. перенос через поры.
3. транспорт с помощью переносчиков (подвижных и эстафетной передачи).
Простая диффузия выражается соотношением (уравнение Фика):
J = (dm/dt) / S = -D (dС/dx) , где j -плотность потока вещества, (dС/dx) - градиент концентрации, D - коэффициент диффузии. Это уравнение даёт возможность рассчитать количество вещества (m) попавшее в клетку за определённое время (t) и через известную площадь (S): m = j t S.
Последние два вида диффузии относят к облегченной, т.к. количество вещества переносимое при таком виде транспорта существенно больше.
Если молекулы диффундирующего вещества движутся без образования комплекса с другими молекулами, то такая диффузия называется простой.
Облегченная диффузия состоит в том, что вещество слабо диффундирующее через мембрану, транспортируется через нее с помощью подвижных или фиксированных в мембране переносчиков. Разновидностью облегченной диффузии является обменная диффузия, которая состоит в том, что вспомогательное вещество образует соединение с диффундирующим веществом и перемещается к другой поверхности мембраны. На другой поверхности мембраны молекула проникающего вещества освобождается и на ее место присоединяется другая молекула такого же вещества. Например, установлено, что натрий эритроцитов благодаря обменной диффузии быстро обменивается на натрий плазмы.
Электродиффузия. Уравнение Нернста – Планка.
Поскольку в диффузии участвуют не только нейтральные вещества, но и ионы разной полярности, Нернст и Планк предложили формулу:
Ф = -uRT (dc/dx) - cuz F (dj/dx)
где: u = D/RT (называется подвижностью молекул)
R - универсальная газовая постоянная;
T - абсолютная температура;
с - концентрация вещества;
z - валентность;
F - число Фарадея;
(dc/dx), (dj/dx) - градиент концентрации и градиент потенциала (то же, что электрическая напряжённость).
Это уравнение выведено из уравнения Теорелла: Ф = -cu (dm/dx), где m - электрохимический потенциал.
Сообщение от администратора:
Ребята! Кто давно хотел выучить английский?
Переходите по и получите два бесплатных урока
в школе английского языка SkyEng!
Занимаюсь там сам - очень круто. Прогресс налицо.
В приложении можно учить слова, тренировать аудирование и произношение.
Попробуйте. Два урока бесплатно по моей ссылке!
Жмите
Явлением диффузии называется процесс установления внутри фаз равновесного распределения концентраций.
Результатом диффузии при постоянной температуре является выравнивание химических потенциалов. В однофазной системе при постоянной температуре и при отсутствии внешних сил диффузия выравнивает концентрацию компонента фазы во всей системе. Если на систему действуют внешние силы или поддерживается градиент температуры, то в результате диффузии устанавливаются градиенты концентраций отдельных компонентов (термодиффузия, электродиффузия и другие процессы).
Уравнение диффузии в одномерном случае
Уравнение диффузии в одномерном случае () в двухкомпонентной системе - это первый закон Фика:
где dm – масса первого компонента, которая переносится за время dt через элементарную площадку dS в направлении нормали x к рассматриваемой площадке в сторону убывания плотности первого компонента, – градиент плотности, D – коэффициент диффузии.
Если в однокомпонентной системе выделить группу молекул, выравнивание концентрации выделенных частиц по объёму сосуда называется самодиффузией. Самодиффузия тоже описывается уравнением диффузии (первым законом Фика), в котором коэффициент D- называется коэффициентом самодиффузии.
Уравнение диффузии в трехмерном случае
В случае трехмерной диффузии изменение концентрации с течением времени при постоянной температуре и отсутствии внешних сил описывается дифференциальным уравнением диффузии:
где D- коэффициент диффузии, t- время. Если D не зависит от концентрации, то уравнение диффузии будет иметь вид:
Уравнение (3) еще называют вторым законом Фика, где - дифференциальный оператор Лапласа.
В том случае, если перенос вещества вызван лишь градиентом его концентрации уравнение диффузии можно записать и в следующем виде:
где c(x, t) - концентрация вещества в точке среды в момент времени t, D – коэффициент диффузии, q - коэффициент поглощения, a F - интенсивность источников вещества. Величины D, q и F обычно являются функциями координат и времени, а также могут зависеть от концентрации с(x, t). B последнем случае, уравнение диффузии (4) становится нелинейным. В анизотропной среде коэффициент диффузии D является тензорным полем. В случае, когда величины D и q постоянны уравнение (4) является уравнением параболического типа. Для такого типа уравнений в математической физике разработаны методы решения. Допущение о постоянстве коэффициента диффузии справедливо в большинстве случаев реализуемых на практике. Уравнения диффузии не содержат ни каких сведений о механизмах этого процесса. Основная цель решения уравнения - найти распределение примеси c(x,t) после диффузии в течение определенного времени при различных условиях осуществления процесса.
Решение уравнения диффузии
Для выделения единственного решения для уравнения (4) необходимо задать начальные и граничные условия. Обычно, рассматривают следующие граничные условия:
1) на границе поверхности S поддерживается заданное распределение вещества
2)на границе поверхности S поддерживается заданная плотность потока вещества, входящего в V через границу S:
где n – внутренняя нормаль к поверхности S
3) S- полупроницаема, и диффузия во внешнюю среду с заданной концентрацией через поверхность S происходит по линейному закону:
В простейшем случае, когда диффузия происходит только вдоль одной прямой и c=c(x,t)уравнение (3) запишется в виде:
с начальным условием:
Тогда уравнение (5) имеет решение вида:
Текущая координата интегрирования.
Выражение (6) называется фундаментальным решением уравнения диффузии в случае (5).
Примеры решения задач
ПРИМЕР 1
Задание | Найти массу газа ( с молярной плотностью прошедшего вследствие диффузии через площадку за время , если градиент плотности в направлении, перпендикулярном площадке, равен . Температура газа T, средняя длинна свободного пробега молекулы . |
Решение | Запишем первый закон Фика в терминах условий задачи:
Знак минус означает, направление вектора плотности. Возьмем модуль от правой части выражения (1.1): Зная, что , где - средняя длина свободного пробега молекулы, - средняя скорость молекулы газа и она равна: . Соответственно преобразуем (1.2), найдем искомую массу газа: |
Ответ | Искомая масса газа может быть найдена по формуле: |
Необходимым условием жизни является перенос веществ через биологические мембраны в клетку и из клетки. Мембраны при этом выполняют две прямо противоположные функции: барьерную, благодаря которой клетка защищается от чужеродных веществ, и транспортную, обеспечивающую всем необходимым процессы метаболизма, генерации биопотенциалов и нервных импульсов, биоэнергетики и т.д.
В физике под термином перенос понимают необратимые процессы, в результате которых в физической системе происходит пространственное перемещение (перенос) массы, импульса, энергии, заряда или какой-либо другой физической величины. Следует понимать, что с места на место переходят частицы, которые и переносят свои физические характеристики: массу, импульс, энергию, заряд и т.д.
К явлениям переноса относятся диффузия – перенос массы; теплопроводность – перенос энергии; вязкость – перенос импульса частиц среды.
Наиболее существенными для жизнедеятельности биологических организмов являются процессы переноса массы и электрического заряда. В биофизике в качестве синонима термину перенос используют термин «транспорт». Выведем, исходя из представлений молекулярно-кинетической теории, общее уравнение переноса. Прежде всего, с этой целью определим количество молекул, переходящих за промежуток времени Δt через некоторую воображаемую площадку ΔS, помещённую в вещество. Направим ось OX перпендикулярно ΔS (рис.5). Т.к. движение частиц среды хаотично, то условно можно считать, что вдоль каждой из пространственных осей движется треть от общего числа частиц. Причём, половина от этой трети (т.е.1/6) движется вдоль OX слева направо, а вторая половина – справа налево. Тогда, в одну сторону через площадку ΔS за 1 секунду пройдёт 1/6 всех частиц, находящихся в объёме прямоугольного параллелепипеда с основанием ΔS и высотой, равной средней скорости движения частиц среды: , где n – число частиц в единице объёма. За время Δt число частиц прошедших в этом направлении:
Будем помнить, что каждая частица при этом перенесёт через площадку свои физические характеристики: массу, заряд, импульс, энергию и т. д. Тогда количество любой физической характеристики φ, перенесённое всеми частицами в направлении нормали через площадку ΔS за время :
Понятно, если среда однородна, то количество частиц движущихся “слева направо” и “справа налево” будет одинаковым, и результирующего переноса физических величин не будет.
Предположим, что рассматриваемая среда неоднородна по своим физическим свойствам. Это означает, что значения одной и той же характеристики φ в разных точках пространства разные. В этом случае количество физической величины перешедшей «слева направо» и «справа налево» не будет одинаковым. Оценим результирующий перенос величины через площадку ΔS.
Пусть значение убывает в положительном направлении OX, будучи равным 1 слева от площадки ΔS и 2 – справа от неё (рис.6). Результирующий перенос величины (φN) через площадку ΔS за время Δt слева направо, равен:
Теперь остаётся только выяснить на каком расстоянии от ΔS следует взять значения φn 1 и φn 2 . Обмен значениями величины φ и изменение концентрации n происходит только при взаимодействиях молекул. Это означает, что значение сохраняется неизменным на расстоянии равным длине свободного пробега – λ слева и справа от площадки. На этих расстояниях от ΔS и будем брать значения (φn) для подстановки в формулу (3). Умножив и разделив правую часть (3) на 2λ, получим:
Величину
называют градиентом величины (φn). 2λ = Δx – расстояние на котором величина (φn) изменяется от значения (φn) 1 до (φn) 2 . Окончательно для результирующего переноса имеем:
Знак минус обусловлен тем, что перенос физической величины происходит в направлении, противоположном градиенту величины (φn). Grad(φn) направлен справа налево, а перенос (φn) – слева направо (рис.3). Выражение (6) является общим уравнением переноса.
Рассмотрим на его основании явление диффузии, т.е. перенос массы. Переносимой величиной будет масса молекулы, т.е. φ = m. Тогда, m·n = ρ. Подставляя в уравнение (6) вместо φ – m, получим
где ΔM – масса газа, переносимая путём диффузии за Δt через площадку ΔS, перпендикулярную направлению убывания плотности. Обозначив , получим уравнение диффузии (закон Фика) в виде:
где константа D – коэффициент диффузии, размерность которого (м 2 /с).
Количество вещества, которое переносится через всё поперечное сечение ΔS за единицу времени, называется потоком вещества:
Уравнение Фика может быть записано также через плотность потока вещества (интенсивность переноса) – величину, под которой понимают массу вещества, перенесённую через единицу площади поперечного сечения потока за единицу времени:
Явления переноса изучают как на живых клетках, так и на разного рода моделях. Перенос вещества может происходить без затраты энергии (пассивный транспорт) и за счёт энергии АТФ (активный транспорт).
4. ТРАНСПОРТ ВЕЩЕСТВ ЧЕРЕЗ БИОЛОГИЧЕСКИЕ МЕМБРАНЫ.
4.1 ПАССИВНЫЙ ПЕРЕНОС. РАЗНОВИДНОСТИ ПАССИВНОГО ТРАНСПОРТА МОЛЕКУД И ИОНОВ ЧЕРЕЗ МЕМБРАНУ.
Важным элементом функционирования биологических мембран является их способность пропускать или не пропускать молекулы, атомы и ионы. Эта способность называется проницаемостью. Проблема мембранной проницаемости включает в себя вопрос кинетики поступления частиц в клетку и из клетки, а также механизм распределения вещества между клеткой и межклеточной средой. Изучение проницаемости биомембран имеет большое значение для медицины и, особенно, для фармакологии и токсикологии. Для лечения необходимо знать проникающую способность фармакологических средств и ядов через мембрану в норме и при патологии.
Перенос вещества через мембрану является сложным процессом и может осуществляться многими способами. В зависимости от того, что является движущей силой перемещения молекул, все виды переноса можно разделить на пассивные и активные. Пассивный транспорт вещества осуществляется за счет энергии, сконцентрированной в каком-либо градиенте и не связан с затратой химической энергии гидролиза АТФ. Наиболее значимыми для биологических систем являются градиенты концентрации – dc/dx, электрического потен-циала – dφ/dx и гидростатического давления – dр/dx.
Выделяют следующие виды пассивного переноса через биологические мембраны: простая диффузия, диффузия через поры, облегченная диффузия, осмос и фильтрация :
а) Простая диффузия – это самопроизвольное перемещение вещества из мест с большей концентрацией в места с меньшей концентрацией вследствие хаотического теплового движения частиц. Рассмотрим в качестве примера диффузию незаряженных частиц определённого вида через биологическую мембрану толщиной l . Запишем уравнение Фика через концентрацию вещества данного вида в растворе. Не трудно видеть, что для раствора масса растворённого вещества в единице объёма и есть его массовая концентрация (кг/м 3). Теперь плотность потока вещества через поверхность мембраны в направлении нормали к ней, в соответ-ствии с (10), запишется:
где D – коэффициент диффузии, Δc/Δx – градиент массовой концентрации вдоль направления переноса. Будем считать, что концентрация частиц, диффундирующих через мембрану, изменяется в мембране по линейному закону от значения с i ,м внутри клетки, до значения с о,м в межклеточной среде (рис.7). Тогда градиент концентрации можно выразить соотношением:
Измерить концентрации с о,м и с i ,м в приграничных слоях мембраны практически невозможно. Поэтому воспользуемся соотношением:
где с о и с i – концентрации данного вещества в межклеточной жидкости и цитоплазме соответственно. Откуда, с учётом того, что с i ,м = k с i , a с о,м = k с о, получим:
С учётом (14) уравнение диффузии частиц через мембрану примет вид:
–уравнение Коллендера. (15)
Величина Р = Dk / l называется коэффициентом проницаемости . В живой клетке такая диффузия обеспечивает прохождение кислорода и углекислого газа, а также ряда лекарственных веществ и ядов.
б) Диффузия может проходить через липидные и белковые поры или каналы , которые образуют в мембране проход (рис.8). Такой механизм проникновения сквозь мембрану характерен для молекул нерастворимых в липидах веществ и водорастворимых гидратированных ионов (сахар, спирт). Этот вид переноса допускает проникновение через мембрану не только малых молекул, например, молекул воды, но и более крупных частиц. Значение проницаемости при этом определяется размерами молекул: с ростом размеров проницаемость молекул уменьшается.
Диффузия через поры также описывается уравнением Фика. Однако, наличие пор увеличивает коэффициент проницаемости Р. Каналы могут проявлять селективность или избирательность по отношению к разным ионам, это проявляется в разной величине проницаемостях для разных ионов.
в) Облегченная диффузия происходит при участии молекул-переносчиков . Было обнаружено, что скорость проникновения в клетку глюкозы, глицерина, аминокислот не имеет линейной зависимости от разности концентраций. Для определенных концентраций скорость проникновения вещества через мембрану намного больше, чем следует ожидать для простой диффузии. При увеличении разности концентраций скорость диффузии возрастает в меньшей степени, чем это следует из уравнения Коллендера (15). В данном случае наблюдается облегченная диффузия.
Её механизм состоит в том, что вещество A, которое самостоятельно плохо проникает через мембрану, может образовать комплекс с молекулами X вспомогательного вещества (рис.9), которое растворено в липидах. У поверхности мембраны молекулы А образуют комплекс AX, который способен растворяться в липидах. Оказавшись в результате диффузии по другую сторону мембраны, некоторые из комплексов отщеплют молекулы A. Молекула X возвращается к наружной поверхности мембраны и может образовать новой комплекс с молекулой А. Разумеется транспорт вещества А таким способом происходит в одну и другую сторону. Поэтому результирующий перенос возникнет только при условии, что концентрация А по одну и другую стороны мембраны разная. Таким способом, например, антибиотик валиномицин переносит через мембраны ионы калия. Соединения, обладающие способностью избирательно увеличивать скорость переноса ионов через мембрану получили название ионофоров .
Если концентрация молекул А в среде такова, что все молекулы вещества-переносчика задействованы, то дальнейшее повышении концентрации вещества А не будет больше вызывать рост скорости диффузии. Это означает, что облегчённая диффузия обладает свойст-
вом насыщения.
При облегчённой диффузии наблюдается конкуренция переносимых веществ в тех случаях, когда переносчиком выступает одно и тоже соединение. Например, глюкоза переносится лучше, чем фруктоза; фруктоза лучше, чем ксилоза; ксилоза, лучше, чем арабиноза и т.д.
Известны также соединения, способные избирательно блокировать облегчённую диффузию ионов через мембрану. Они образуют прочные комплексы с молекулами переносчиками. Например яд рыбы фугу тетродотоксин блокирует транспорт натрия, флоридзин подавляет транспорт сахаров и т.д.
Разновидностью облегчённой диффузии является транспорт с помощью неподвижных переносчиков. Молекулы X образуют фиксированные цепочки поперек мембраны, например, выстилают изнутри пору (рис.10). Молекулы переносимого вещества А передаются от одной молекулы переносчика к другой, как по эстафете. При этом предполагается, что пространство в поре недостаточно велико для прохождения через нее частиц А, если только они не способны к специфическому взаимодействию с переносчиком Х.
Диффузия является основным видом пассивного транспорта веществ через мембрану клетки. Все остальные виды пассивного переноса связаны в основном с транспортом воды.
в) Осмос – диффузия растворителя через полупроницаемую мембрану, разделяющую два раствора с разной концентрацией . Сила, которая вызывает это движение растворителя, называется осмотическим давлением. Оно возникает вследствие теплового движения молекул воды и растворённого вещества. Некоторые молекулы воды, векторы скорости которых параллельны каналам мембраны, проникают через неё. В то же время для растворённого вещества А мембрана непроницаема. По этой причине поток воды из раствора, где концентрация А ниже будет больше (в этом растворе выше концентрация воды). Процесс приводит к возрастанию гидростатического (водяного) давления в растворе с большей концентрацией А. Это избыточное давление вызывает фильтрацию воды в обратном направлении. В некоторый момент наступает состояние динамического равновесия. Давление соответствующее этому состоянию называется осмотическим давлением. Величина осмотического давления определяется уравнением Ван-Гоффа:
р = i·c·R·T, (16)
где с – концентрация растворённого вещества; Т – термодинамическая температура; R – газовая постоянная; i – изотонический коэффициент, показывает во сколько раз возросло число частиц в растворе из-за диссоциации молекул. Скорость осмотического переноса воды через мембрану определяется соотношением:
где Р о – коэффициент проницаемости, S – площадь мембраны, (р 1 – р 2) – разность осмотических давлений по одну и другую стороны мембраны.
г) Фильтрацией называется движение жидкости через поры в мембране под действием градиента гидростатического давления . Объёмная скорость переноса жидкости при этом подчиняется закону Пуазейля:
где r – радиус поры; l – длина канальца поры; (р 1 -р 2) – разность давлений на концах канальца; η – коэффициент вязкости переносимой жидкости; – модуль градиента давления вдоль поры; – гидравлическое сопротивление. Это явление наблюдается при переносе воды через стенки кровеносных сосудов (капилляров). Явление филь-трации играет важную роль во многих физиологических процессах. Так, например, образование первичной мочи в почечных нефронах происходит в результате фильтрации плазмы крови под действием давления крови. При некоторых патологиях фильтрация усиливается, что приводит к отёкам.