Закон сохранения энергии для замкнутой электрической цепи. Основные законы электрических цепей. Закон сохранения энергии в электричестве
1.4. КЛАССИФИКАЦИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
В зависимости от того, для какого тока предназначается электрическая цепь, ее соответственно называют: «Электрическая цепь постоянного тока», «Электрическая цепь изменяющегося тока», «Электрическая цепь синусоидального тока», «Электрическая цепь не синусоидального тока».
Аналогично именуют и элементы цепей - машины постоянного тока, машины переменного тока, источники электрической энергии (ИЭЭ) постоянного тока, ИЭЭ переменного тока.
Элементы цепей и составленные из них цепи подразделяют и по виду вольт-амперной характеристики (ВАХ). При этом имеется ввиду зависимость их напряжения от тока U = f (I)
Элементы цепей, ВАХ которых линейны (рис.3, а), называют линейными элементами, и, соответственно, электрические цепи называют линейными.
Электрическую цепь, содержащую хотя бы один элемент с нелинейной ВАХ (рис.3, б), называют нелинейной.
Электрические цепи постоянного и переменного тока различают также по способу соединения их элементов - на неразветвленные и разветвленные.
Наконец, электрические цепи делят по числу источников электрической энергии - с одним или с несколькими ИЭЭ.
Различают активные и пассивные цепи, участки и элементы цепей.
Активными называют электрические цепи, содержащие источники электрической энергии, пассивными - электрические цепи, не содержащие источников электрической энергии.
Для работы электрической цепи необходимо наличие активных элементов, т. е. источников энергии.
Простейшими пассивными элементами схемы электрической цепи являются сопротивление, индуктивность и емкость. С определенной степенью приближения они замещают реальные элементы цепи - резистор, индуктивную катушку и конденсатор соответственно.
В реальной цепи электрическим сопротивлением обладает не только резистор или реостат как устройства, предназначенные для использования их электрических сопротивлений, но и любой проводник, катушка, конденсатор, обмотка любого электромагнитного элемента и т. д. Но общим свойством всех устройств, обладающих электрическим сопротивлением, является необратимое преобразование электрической энергии в тепловую. Действительно, из курса физики известно, что при токе i в резисторе, обладающем сопротивлением r, за время dt в соответствии с законом Джоуля-Ленца выделяется энергия
dw = ri 2 dt,
или можно сказать, что в этом резисторе потребляется мощность
p = dw/dt = ri 2 = ui,
где u - напряжение на зажимах резистора.
Тепловая энергия, выделяемая в сопротивлении, полезно используется или рассеивается в пространстве: Но поскольку преобразование электрической энергии в тепловую в пассивном элементе носит необратимый характер, то в схеме замещения во всех случаях, когда необходимо учесть необратимое преобразование энергии, включается сопротивление. В реальном устройстве, например в электромагните, электрическая энергия может быть преобразована в механическую (притяжение якоря), но в схеме замещения это устройство заменяется сопротивлением, в котором выделяется эквивалентное количество тепловой энергии. И при анализе схемы нам уже безразлично, что в действительности является потребителем энергии: электромагнит или электроплитка.
Величина, равная отношению постоянного напряжения на участке пассивной электрической цепи к постоянному току в нем при отсутствии на участке э. д. с., называется электрическим сопротивлением постоянному току . Оно отличается от сопротивления переменному току, определяемого делением активной мощности пассивной электрической цепи на квадрат действующего тока. Дело в том, что при переменном токе из-за поверхностного эффекта, сущность которого состоит в вытеснении переменного тока из центральных частей к периферии сечения проводника, сопротивление проводника возрастает и тем больше, чем больше частота переменного тока, диаметр проводника и электрическая и магнитная проводимости его материала. Иначе говоря, в общем случае проводник всегда оказывает большее сопротивление переменному току, чем постоянному. В цепях переменного тока сопротивление называется активным. Цепи, характеризующиеся только электрическими сопротивлениями их элементов, называются резистивными .
Индуктивность L , измеряемая в генри (Г), характеризует свойство участка цепи или катушки накапливать энергию магнитного поля. В реальной цепи индуктивностью обладают не только индуктивные катушки, как элементы цепи, предназначенные для использования их индуктивности, но и провода, и выводы конденсаторов, и реостаты. Однако в целях упрощения во многих случаях полагают, что вся энергия магнитного поля сосредоточивается только в катушках.
При возрастании тока в катушке запасается энергия магнитного поля, которая может быть определена как w м = L i 2 / 2 .
Емкость С, измеряемая в фарадах (Ф), характеризует способность участка цепи или конденсатора накапливать энергию электрического пол я . В реальной цепи электрическая емкость существует не только в конденсаторах, как элементах, предназначенных специально для использования их емкости, но и между проводниками, между витками катушек (межвитковая емкость), между проводом и землей или каркасом электротехнического устройства. Однако в схемах замещения принято, что емкостью обладают только конденсаторы.
Энергия электрического поля, запасаемая в конденсаторе при возрастании напряжения равна .
Таким образом, параметры электрической цепи характеризуют свойства элементов поглощать энергию из электрической цепи и преобразовывать в другие виды энергии (необратимые процессы), а также создавать свои собственные электрические или магнитные поля, в которых энергия способна накапливаться и при определенных условиях возвращаться в электрическую цепь. Элементы электрической цепи постоянного тока характеризуются только одним параметром - сопротивлением. Сопротивление определяет свойство элемента поглощать энергию из электрической цепи и преобразовывать ее в другие виды энергии.
1.5. ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЦЕПЬ ПОСТОЯННОГО ТОКА. ЗАКОН ОМА
При наличии электрического тока в проводниках движущиеся свободные электроны, сталкиваются с ионами кристаллической решетки, испытывают противодействие своему движению. Это противодействие количественно оценивается величиной сопротивления.
Рис. 4 |
Рассмотрим электрическую цепь (рис. 4), на которой слева показан ИЭЭ (выделен штриховыми линиями) с э.д.с. Е и внутренним сопротивлением r , а справа приведена внешняя цепь - потребитель электрической энергии R . Для выяснения количественной характеристики этого сопротивления воспользуемся законом Ома для участка цепи.
Под действием э. д. с. в цепи (рис.4) возникает ток, величина которого может быть определена по формуле:
I = U/R (1.6)
Это выражение является законом Ома для участка цепи: сила тока на участке цепи пря пропорциональна напряжению, приложенному к этому участку.
Из полученного выражения найдем R = U / I и U = I R.
Необходимо отметить, что приведённые выражения справедливы при условии, что R - величина постоянная т.е. для линейной цепи, характеризуемой зависимостью I = (l / R)U (ток линейно зависит от напряжения и угол φ наклона прямой на рис.3, а равен φ = arctg(1/R)). Отсюда следует важный вывод: закон Ома справедлив для линейных цепей, когда R = const.
За единицу сопротивления принято сопротивление такого участка цепи, в котором устанавливается ток в один ампер при напряжении в один вольт:
1 Ом = 1 В/1А.
Более крупными единицами измерения сопротивления являются килоом (кОм): 1 кОм = Ом и мегом (мОм): 1 мОм = Ом.
В общем случае R = ρ l/S , где ρ - удельное сопротивление проводника с площадью поперечного сечения S и длиною l.
Однако в реальных цепях напряжение U определяется не только величиной э.д.с., но и зависит от величины тока и сопротивления r ИЭЭ, так как любой источник энергии имеет внутреннее сопротивление.
Рассмотрим теперь полную замкнутую цепь (рис. 4). Согласно закону Ома получим для внешнего участка цепи U = IR и для внутреннего U 0 = I r. А так как э.д.с. равна сумме напряжений на отдельных участках цепи, то
Е = U + U 0 = IR + Ir
. (1.7)
Выражение (1. 7) является законом Ома для всей цепи: сила тока в цепи прямо пропорциональна э.д.с. источника.
Из выражения E = U + следует, что U = E - Ir , т.е. при наличии тока в цепи напряжение на ее зажимах меньше э.д.с. источника на величину падения напряжения на внутреннем сопротивлении r источника.
Измерить напряжения (вольтметром) на различных участках цепи можно только при замкнутой цепи. Э.д.с. же измеряют между зажимами источника при разомкнутой цепи, т.е. при холостом ходе, когда I ток в цепи равен нулю в этом случае E = U.
1.6. СПОСОБЫ СОЕДИНЕНИЯ СОПРОТИВЛЕНИЙ
При расчете цепей приходится сталкиваться с различными схемами соединений потребителей. В случае цепи с одним источником часто получается смешанное соединение, составляющее собой комбинацию параллельного и последовательного соединений, известных из курса физики. Задача расчета такой цепи состоит в том, чтобы при известных сопротивлениях потребителей определить токи, протекающие через них, напряжения, мощности на них и мощность всей цепи (всех потребителей).
Соединение, при котором по всем участкам проходит один и тот же ток, называется последовательным соединением участков цепи. Любой замкнутый путь, проходящий по нескольким участкам, называют контуром электрической цепи. Например, цепь, показанная на рис. 4 является одноконтурной.
Рассмотрим различные способы соединения сопротивлений более подробно.
1.6.1 Последовательное соединение сопротивлений
Если два или несколько сопротивлений соединены, как показано на рис. 5, одно за другим без разветвлений и по ним проходит один и тот же ток, то такое их соединение называют последовательным.
Рис. 5 |
По закону Ома можно определить напряжения на отдельных участках цепи (сопротивлениях)
U 1 = IR 1 ; U 2 = IR 2 ; U 3 = IR 3 .
Так как ток во всех участках имеет одинаковое значение, то напряжения на участках пропорциональны их сопротивлениям, т.е.
U 1 /U 2 = R 1 / R 2 ; U 2 /U 3 = R 2 / R 3 .
Мощности отдельных участков соответственно равны
P 1 = U 1 I ; P 2 = U 2 I ; P 3 = U 3 I .
А мощность всей цепи, равная сумме мощностей отдельных участков, определяется как
P = P 1 + P 2 + P 3 = U 1 I + U 2 I + U 3 I = (U 1 + U 2 + U 3)I = UI ,
откуда следует, что напряжение на зажимах цепи U равно сумме напряжений на отдельных участках
U =U 1 + U 2 + U 3 .
Разделив правую и левую части последнего уравнения на ток, получим
R = R 1 + R 2 +R 3 .
Здесь R = U/I - сопротивление всей цепи, или, как его часто называют, эквивалентное сопротивление цепи, т.е. такое равноценное сопротивление, заменяя которым все сопротивления цепи (R 1 , R 2 , R 3) при неизменном напряжении на ее зажимах, получим то же самое значение тока.
1.6.2. Параллельное соединение сопротивлений
Рис. 6 |
Параллельным соединением сопротивлений называется соединение (рис. 6), при котором один зажим каждого из сопротивлений присоединяется к одной точке электрической цепи, а другой зажим каждого из тех же сопротивлений присоединяется к другой точке электрической цепи. Таким образом, между двумя точкам электрической цепи будет включено несколько сопротивлений. образующих параллельные ветви.
Так как при этом напряжение на всех ветвях будет одним и тем же, то токи в ветвях могут быть разными, в зависимости от величин отдельных сопротивлений. Эти токи можно определить по закону Ома:
Напряжения между точками разветвления (А и Б рис.6)
Поэтому как лампы накаливания, так и двигатели, предназначенные для работы при определенном (номинальном) напряжении, всегда включаются параллельно.
Закон сохранения энергии в конденсаторных схемах Задача 1 A Q 0 W A kмех ист Вариант 1 При разомкнутом ключе К2 ключ К1 замыкают и после окончания переходных процессов размыкают. После этого замыкают ключ К2. Решение. По закону сохранения энергии изменение энергии в конденсаторе определяется соотношением мехA работа механических сил равна нулю, так как нет перемещений внутри конденсаторов. истA работа источника тока равна нулю, так как при замыкании ключа К2 ключ К1 разомкнут, источник тока отключен. Q количество теплоты, которое выделяется при движении зарядов. W W кн Начальная и конечная энергии конденсаторов соответствуют соответственно разомкнутому и замкнутому ключу К2. Для начального состояния (конденсаторы заряжаются от источника тока): Q Q W W кк 0 кн кк Для конечного состояния (в схеме остаются только конденсатор С2 и параллельный ему конденсатор С3.). Заряды конденсаторов сохраняются., так как цепь разомкнута. q 23 2 Ec W кк 2 q 23 2 C 23 2 2 E c 4 2 (c 2) c 2 3 2 E c Подставляем энергии конденсаторов в соотношение для Q и получим ответ. 2 Q E c Вариант 2. 2 3 2 E c 1 3 2 E c 2 c C o q o W кн 2) c 2 c Ec 2 1 () C C C 6 (c c 3 c C C C c 6 3 2 1 q q q 2 E C 1 3 2 С U 2 с E о 2 2 cE 2 2 о 2 o кн ист Q A kk ист kkкн При разомкнутом ключе К2 ключ К1 замыкают и после окончания переходных процессов замыкают ключ К2. Решение. В этом случае ключ К2 замыкают под напряжением, источник тока остается подключенным постоянно, участвует в перезарядке конденсаторов, поэтому совершает работу. Закон сохранения энергии в этом случае принимает вид: W W Q W W A Начальное состояние схемы такое же, как в варианте 1, поэтому начальные заряды и энергия конденсаторов соответствуют рассчитанным. В конечном состоянии после замыкания ключа К2 оставшиеся параллельно соединенные конденсаторы С2 и С3 будут заряжаться (дозаряжаться) от источника тока. C q ok c C C 3 2 ok 3 Ec E C ok 2 2 C E 3 E c ok 2 2 Работа источника тока: E q E q A (ист ok Подставляем энергии конденсаторов в соотношение для Q и получим ответ. E (3 Ec 2 Ec) q oн) 2 E c 2 c 3 c W kk 2 Q E c 2 2 E c E c 2 E c 3 2 1 3 Одинаковый ответ в первом и втором варианте – это не закономерность, а случайность. Задача 2 В исходном состоянии для схемы рис.2 С1=2С, С2=3С, э.д.с. источника тока равна E. В плоском воздушном конденсаторе С1 с помощью внешней силы пластины очень быстро раздвинули, увеличив расстояние между пластинами в 2 раза. Какое количество теплоты выделится в схеме в последующем переходном процессе? Решение. При быстром движении пластины против силы Кулона заряд пластин сохраняется, сила Кулона совершает отрицательную работу, а внешняя сила – положительную работу. Вторая пластина двигается в поле первой пластины, электроемкость первого конденсатора уменьшается в 2 раза. A мех F k dЕ q 1 2 q d q н 1 2 S 0 2 н d 2 q d 1 н 2 S 0 2 q 1 н 2 C н Для начального состояния (до начала движения) : C 0 н 1 н С C 2 C C 2 1 н q 0 н q 1 н q 2 н 2 3 c c 3 2 c c Ec 6 5 6 5 c A мех 2 2 36 E c 25 2 0,72 2 E c W кн 2 6 сE 5 2 0,6 2 E c Так как электроемкость С1 уменьшилась быстро, то при последующем переходном процессе напряжение на нем должно увеличиваться, поэтому для того чтобы сумма напряжений на С1 и С2 оставалась равна E, заряд будет уходить в источник тока, значит, источник тока будет совершать отрицательную работу. Для конечного состояния: 3 c c 3 c c C C 2 C C 1 3 4 C 0 c 1 k 2 k k k н 0 2 2 () E q 0 W кк A ист (E q 0 3 cE 2 4 C E k 2 3 4 3 8 Закон сохранения энергии W W Q Q W W AА Задача 3 kkкн мех kkкн ист мех ист AА cE Ec 6 5 Ec) 9 20 2 E c 0, 45 2 E c 2 0,375 cE 2 (0,375 0,6 0,72 0, 45) E c 2 0, 495 E c 2 В исходном состоянии для схемы рис.3 С1= С2=С, э.д.с. источника тока равна E. В плоском воздушном конденсаторе С1 с помощью внешней силы пластины очень быстро cдвинули, уменьшив расстояние между пластинами в 2 раза. Какое количество теплоты выделится в схеме в последующем переходном процессе? Решение. Для начального состояния: с с 2 CС oн с 2 qЕ С он сЕ W он 2 кн 2 С 1 н 2 сE сЕ 2 2 При быстром перемещении пластин конденсатора все заряды сохраняются, а электроемкость первого конденсатора увеличивается в 2 раза. При этом для постоянства разности потенциалов на источнике тока необходим больший заряд, поэтому в последующем переходном процессе заряд потечет от источника тока, и источник тока будет совершать положительную работу. 2 c сЕ) qсЕ c ок 3 c 2 3 C oк сЕ 2 C c 1 к 2 (3 AЕ сЕ ист 2 3 сЕ 2 W кк A мех 2 q 1 н 2 S oн d н 2 2 q 1 н 4 Cс 1 2 2 Е с 4 2 сЕ 4 Так как сила Кулона совершает отрицательную работу, то внешняя сила – положительную работу при перемещении на расстояние Q W WА кк кн Задача 4 А ист сЕ мех 2 нd 1 2 cЕ 1,5 . 2 сЕ 2 0,25 cЕ 2 0,25 cЕ 2 1 01 02 0 Решение. Данная задача с ненулевыми начальными условиями и особенность ее в том, что при замыкании ключа К суммарный заряд правой пластины конденсатора C1 и левой пластины конденсатора С2 неравен нулю: для согласного включения конденсаторов q U C U C 0 2 (полярности так, как на рисунке 4). Этот заряд будет сохраняться (по закону сохранения электрического заряда) при любых последующих переходных процессах. Так как схема подключена к источнику тока, то при замыкании ключа К заряды конденсаторов (правых пластин) изменятся и будут равны после переходного процесса q1 и q2 , а напряжения U1 и U2. Эти заряды и напряжения должны соответствовать закону сохранения заряда и соотношению напряжений при последовательном согласном включении. Получаем систему двух уравнений. Если бы конденсатор С2 был включен встречно (по полярности), то знаки и q2, и U2 изменились бы на противоположные. 1 U U q q 2 1 2 E q 0 q q 1 2 C C 1 q q 1 2 2 E q 0 q C 1 2 (q 1 q C EC C 0 2) 1 1 Находим заряды конденсаторов. q 1 q 2 EС С q C 1 0 EС С U C U C C 2 02 1 2 EС С q C 2 0 EС С U C U C C 2 01 2 1 1 2 C C 2 1 2 C C 2 1 1 1 2 01 2 1 C C 2 2 01 C C q p , то есть 0 1 1 2 1 q p или 0 Из соотношений ясно, что возможны ситуации, когда конденсаторы в результате переходного процесса могут перезарядиться на противоположные полярности. Работа источника тока (для положительного полюса) : истAЕ q 2 1 2 q 2 q 2 q 02 Можно показать, что EC C U C U C C 1 01 1 2 2 02 2 C C 1 q q 2 1 2 2 U C 2 02 EC C U C C U C C 1 01 1 2 02 2 C C 1 1 2 2 Энергия конденсаторов для начального состояния: W W W н 1 н н 2 2 01 С U 1 2 2 02 С U 2 2 Для конечного состояния: W k 2 q 2 2 C 2 2 q 1 2 C 1 2 C U об 2 об Следует отметить, что W k , так как при ненулевых начальных условиях общий заряд неравен зарядам последовательно соединенных конденсаторов. Определим значение выделившейся теплоты при следующих численных значениях: C1=c, С2=3с, E= 8 в, U01 =4 в, U02 =2 в. q 0 q 1 q 4 8 2 3 2 c c c 3 2 c 11 c c c 3 c 2 c 4 c 3 3 c c c 4 c 14 2 c 3 c q 2 8 c 8 c 3 c 4 c c 2 3 c 15 2 c 3 2 c Wс н W k 2 с 16 2 11 (2 8 1,5 c c) 3 4 с 2 2 c 12 c A ист Q W W Aс ист н к Задача 5. 15 c (2 2) 2 3 c 121 c 8 75 c 8 24,5 c 14 c 24,5 c 12 c 1,5 2 1 E U U , поэтому заряды ни от источника, ни к источнику не потекут Решение. 1. Теплота выделяется только в том случае, когда происходит перераспределение зарядов, т.е. течет ток. При размыкании ключа это может произойти только от источника тока. Разность потенциалов между точками А и В при этом не изменяется так как АВU (заряды могут перетекать, если потенциал положительного полюса источника тока неравен потенциалу т.В, а потенциал отрицательного полюса источника неравен потенциалу т.А). Значит, заряды конденсаторов не изменятся, работа источника тока равна нулю, поэтому теплота при размыкании ключа выделяться не будет. 2. Неизменность зарядов конденсаторов можно доказать, используя закон сохранения заряда для средней точки схемы. Для начального состояния: 2 q 1 н q 23 C он q он С С С) 1 3 С С С 1 3 ( 2 EC 1 C C C 3 1 2 2) (EС С С 3 1 С С С 1 3 EC C 3 C C C 3 1 1 2 2 q 23 (C C U U ) 23 23 2 3 q 3 н C U 3 23 Так как при размыкании ключа отключается левая пластина конденсатора С3 от средней точки, то с ней уходит и ее отрицательный заряд q3н. Поэтому по закону сохранения заряда для средней точки получим: q 1 q 2 q 3 н 1 EC C 3 C C C 3 1 2 Решая это уравнение совместно с уравнением для напряжений при последовательном соединении U U 1 2 E q q 2 1 C C 1 2 E , можно определить q1 и q2 установившиеся после переходного процесса заряды конденсаторов. Получим q 1 ) EС С С 3 С С С 1 3 (1 2 2 , значение которого равно q1н, что означает, что перераспределения зарядов при размыкании ключа происходить не будет.
Всеобщий закон природы. Следовательно, он применим в том числе, и к электрическим явлениям. Рассмотрим два случая превращения энергии в электрическом поле:
- Проводники являются изолированными ($q=const$).
- Проводники соединены с источниками тока при этом не изменяются их потенциалы ($U=const$).
Закон сохранения энергии в цепях с постоянными потенциалами
Допустим, что имеется система тел, которая может включать в себя как проводники, так и диэлектрики. Тела системы могут совершать малые квазистатические перемещения. Температура системы поддерживается постоянной ($\to \varepsilon =const$), то есть тепло подводится к системе, или отводится от нее при необходимости. Диэлектрики, входящие в систему будем считать изотропными, плотность их положим постоянной. В этом случае доля внутренней энергии тел, которая не связана с электрическим полем изменяться не будет. Рассмотрим варианты превращений энергии в подобной системе.
На любое тело, которое находится в электрическом поле, действуют пондемоторные силы (силы, действующие на заряды внутри тел). При бесконечно малом перемещении пондемоторные силы выполнят работу $\delta A.\ $Так как тела перемещаются, то изменение энергии dW. Так же при перемещении проводников изменяется их взаимная емкость, следовательно, для сохранение потенциала проводников неизменным, необходимо изменять заряд на них. Значит, каждый из источников тора совершает работу равную $\mathcal E dq=\mathcal E Idt$, где $\mathcal E $ - ЭДС источника тока, $I$ -- сила тока, $dt$ - время перемещения. В нашей системе возникнут электрические токи, и в каждой ее части выделится тепло:
По закону сохранения заряда, работа всех источников тока равна механической работе сил электрического поля плюс изменение энергии электрического поля и тепло Джоуля -- Ленца (1):
В случае если проводники и диэлектрики в системе неподвижны, то $\delta A=dW=0.$ Из (2) следует, что вся работа источников тока превращается в тепло.
Закон сохранения энергии в цепях с постоянными зарядами
В случае $q=const$ источники тока не войдут в рассматриваемую систему, тогда левая часть выражения (2) станет равна нулю. Помимо этого, тепло Джоуля - Ленца возникающее за счет перераспределения зарядов в телах при их перемещении обычно считают несущественным. В таком случае закон сохранения энергии будет иметь вид:
Формула (3) показывает, что механическая работа сил электрического поля равна уменьшению энергии электрического поля.
Применение закона сохранения энергии
Используя закон сохранения энергии в большом количестве случаев можно рассчитать механические силы, которые действуют в электрическом поле, при чем сделать это порой существенно проще, чем, если рассматривать непосредственное действие поля на отдельные части тел системы. При этом действуют по следующей схеме. Допустим необходимо найти силу $\overrightarrow{F}$, которая действует на тело в поле. Полагают, что тело перемещается (малое перемещение тела $\overrightarrow{dr}$). Работа искомой силы равна:
Пример 1
Задание: Вычислите силу притяжения, которая действует между пластинами плоского конденсатора, который помещен в однородный изотропный жидкий диэлектрик с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon $. Площадь пластин S. Напряжённость поля в конденсаторе E. Пластины отключены от источника. Сравните силы, которые действуют на пластины при наличии диэлектрика и в вакууме.
Так как сила может быть только перпендикулярна пластинам, то перемещение выберем по нормали к поверхности пластин. Обозначим через dx перемещение пластин, то механическая работа будет равна:
\[\delta A=Fdx\ \left(1.1\right).\]
Изменение энергии поля при этом составит:
Следуя уравнению:
\[\delta A+dW=0\left(1.4\right)\]
Если между пластинами находится вакуум, то сила равна:
При заполнении конденсатора, который отключен от источника, диэлектриком напряженность поля внутри диэлектрика уменьшается в $\varepsilon $ раз, следовательно, уменьшается и сила притяжения пластин во столько же раз. Уменьшение сил взаимодействия между пластинами объясняется наличием сил электрострикции в жидких и газообразных диэлектриках, которые расталкивают пластины конденсатора.
Ответ: $F=\frac{\varepsilon {\varepsilon }_0E^2}{2}S,\ F"=\frac{\varepsilon_0E^2}{2}S.$
Пример 2
Задание: Плоский конденсатор частично погружен в жидкий диэлектрик (рис.1). При зарядке конденсатора жидкость втягивается в конденсатор. Вычислить силу f, с которой поле действует на единицу горизонтальной поверхности жидкости. Считать, что пластины соединены с источником напряжения (U=const).
Обозначим через h- высоту столба жидкости, dh - изменение (увеличение) столба жидкости. Работа искомой силы при этом будет равна:
где S -- площадь горизонтального сечения конденсатора. Изменение электрического поля равно:
На пластины перейдет дополнительный заряд dq, равный:
где $a$ -- ширина пластин, учтем, что $E=\frac{U}{d}$ тогда работа источника тока равна:
\[\mathcal E dq=Udq=U\left(\varepsilon {\varepsilon }_0E-{\varepsilon }_0E\right)adh=E\left(\varepsilon {\varepsilon }_0E-{\varepsilon }_0E\right)d\cdot a\cdot dh=\left(\varepsilon {\varepsilon }_0E^2-{\varepsilon }_0E^2\right)Sdh\left(2.4\right).\]
Если считать, что сопротивление проводов мало, то $\mathcal E $=U. Используем закон сохранения энергии для систем с постоянным током при условии постоянства разности потенциалов :
\[\sum{\mathcal E Idt=\delta A+dW+\sum{RI^2dt\ \left(2.5\right).}}\]
\[\left(\varepsilon {\varepsilon }_0E^2-{\varepsilon }_0E^2\right)Sdh=Sfdh+\left(\frac{\varepsilon {\varepsilon }_0E^2}{2}-\frac{{\varepsilon }_0E^2}{2}\right)Sdh\to f=\frac{\varepsilon {\varepsilon }_0E^2}{2}-\frac{{\varepsilon }_0E^2}{2}\ .\]
Ответ: $f=\frac{\varepsilon {\varepsilon }_0E^2}{2}-\frac{{\varepsilon }_0E^2}{2}.$
Рассмотрим замкнутый объем, в котором электромагнитное поле возбуждается переменными токами с объемной плотностью .
По закону Джоуля-Ленца в дифференциальной форме: .
Найдем количество теплоты, выделяющееся в единицу времени в этом объеме: .
Используем, что .
По теореме Гаусса: .
Слагаемые во втором интеграле можно представить в виде:
так как .
Аналогично можно представить: .
Подинтегральное векторное произведение напряженностей электрического и магнитного полей также представляет собой вектор , направленный по скорости распространения электромагнитной волны и равный по величине в любой момент времени: . При выводе этого соотношения использовано понятие объемной плотности энергии магнитного поля, которая, как показано Максвеллом, равна половине объемной плотности энергии электромагнитного поля.
Соответственно, для характеристики переноса энергии электромагнитной волной, вводится вектор Умова-Пойтинга , - плотность потока электромагнитной энергии через поверхность, ограничивающую рассматриваемый объем. Таким образом можно рассчитать поток энергии, проходящей через поверхность, ограничивающую данный объем: .
Выражение: представляет собой закон сохранения энергии электромагнитного поля, так как показывает, что изменение энергии электромагнитного поля в объеме определяется тепловой мощностью и потоком энергии через поверхность, ограничивающую объеме. Если тепловых потерь нет, то или , т.е. вектор Умова-Пойтинга определяется энергией, проходящей в единицу времени через единичную поверхность, перпендикулярную направлению распространения волны. Полную энергию поля в рассматриваемом объеме можно, следовательно, рассчитать по формуле: .
Силы в магнитном поле. Силы, действующие на ток. Сила Лоренца. Силы и момент сил действующие на магнитный момент.
На точечный заряд в электрическом поле действует сила:
На непрерывно распределенный заряд:
объемная плотность сил:
.
Объемные силы, действующие на диэлектрик – это сумма сил, действующих на диполи внутри диэлектрика.
- особенно для жидкостей и газов.
Под действием элементарных сил на малые объемы эти элементы сдвигаются в направление роста . На поверхности раздела сила всегда направлена в сторону диэлектрика с меньшим .
Силы в магнитном поле: , объемная плотность сил . У диамагнетиков , поэтому сила направлена в сторону уменьшения магнитного поля.
Работа, которая совершается током, не является результатом превращения кинетической энергии электронов в другие виды энергии. Носитель энергии – не электроны, а поля. В частном случае джоулева тепла кинетическая энергия электрона не является промежуточной формой энергии.
Опыт показывает, что магнитное поле действует не только на проводники с током, но и на отдельные заряды. Сила, действующая на электрический заряд , движущийся в магнитном поле со скоростью , называется силой Лоренца и выражается формулой
где - индукция магнитного поля, в котором заряд движется.
Модуль силы Лоренца равен:
где - угол между и .
Направление силы Лоренца определяется с помощью правила левой руки.
Сила Лоренца всегда перпендикулярна скорости движения заряженной частицы, поэтому она изменяет только направление этой скорости, не изменяя ее модуля. Следовательно, сила Лоренца работы не совершает.
Если на движущийся электрический заряд помимо магнитного поля с индукцией действует и электрическое поле с напряженностью , то результирующая сила , приложенная к заряду, равна векторной сумме сил:
Это выражение называется формулой Лоренца. Рассмотрим действие магнитного поля на замкнутый контур с током. Для характеристики плоского контура с током вводят вектор магнитного момента , где S – площадь, ограниченная контуром, а направление нормали связано правилом правого винта с направлением тока в контуре (рис.84).
Рассмотрим плоский контур в однородном магнитном поле. Сила, действующая со стороны магнитного поля на весь контур на основании закона Ампера равна: .
Так как сила тока и магнитная индукция при указанных условиях постоянны, то их можно вынести из-под знака суммы, а сумма элементарных векторов , в виде цепочки которых можно представить контур, равна нулю (рис.85).
Если результирующая сила равна нулю, то центр масс контура будет оставаться неподвижным, т.е. контур не будет двигаться поступательно, но возможно вращательное движение. Найдем вращающий момент сил, действующих на контур.
Современная физика знает много видов энергии, связанных с движением или различным взаимным расположением самых разнообразных материальных тел или частиц, например, всякое движущееся тело обладает кинетической энергией, пропорциональной квадрату его скорости. Эта энергия может изменяться, если скорость тела будет возрастать или убывать. Тело, приподнятое над землей, имеет потенциальную гравитационную энергию, изменяющуюся три изменении высоты тела.
Неподвижные электрические заряды, находящиеся на некотором расстоянии друг от друга, обладают потенциальной электростатической энергией в соответствии с тем, что по закону Кулона заряды либо притягиваются (если они разного знака), либо отталкиваются с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними.
Кинетической и потенциальной энергией обладают и молекулы, и атомы, и частицы, их составляющие - электроны, протоны, нейтроны и т. д. В зависимости от характера движения и природы сил, действующих между этими частицами, изменение энергии в системах таких частиц может проявляться в форме механической работы, в протекании электрического тока, в передаче теплоты, в изменении внутреннего состояния тел, в распространении электромагнитных колебаний и т. п.
Уже более 100 лет назад в физике был установлен фундаментальный закон, в соответствии с которым энергия не может исчезать или возникать из ничего. Она может лишь переходить из одного вида в другой . Этот закон называется законом сохранения энергии .
В трудах А. Эйнштейна этот закон получил существенное развитие. Эйнштейн установил взаимопревращаемость энергии и массы и тем самым расширил толкование закона сохранения энергии, который теперь в общем случае формулируется как закон сохранения энергии и массы .
В соответствии с теорией Эйнштейна всякое изменение энергии тела d Е связано с изменением его массы d m формулой d Е=d mс 2 , где с - скорость света в вакууме, равная 3 х 10 8 м/с.
Из этой формулы, в частности, следует, что если в результате какого-либо процесса масса всех тел, участвующих в процессе, уменьшится на 1 г, то при этом выделится энергия, равная 9х10 13 Дж, что эквивалентно 3000 т условного топлива.
Эти соотношения имеют первостепенное значение при анализе ядерных превращений. В большинстве же макроскопических процессов изменением массы можно пренебречь и говорить лишь о законе сохранения энергии.
Проследим за преобразованиями энергии на каком-нибудь частном примере. Рассмотрим всю цепочку преобразований энергии, необходимую для изготовления какой-либо детали на токарном станке (рис. 1). Пусть исходная энергия 1, количество которой мы примем за 100%, получена за счет полного сжигания некоторого количества природного топлива. Следовательно, для нашего примера 100% исходной энергии содержится в продуктах сгорания топлива, находящихся при высокой (около 2000 К) температуре.
Продукты сгорания в котле электростанции, охлаждаясь, отдают свою внутреннюю энергию в виде теплоты воде и водяному пару. Однако по техническим и экономическим причинам продукты сгорания нельзя охладить до температуры окружающей среды. Они выбрасываются через трубу в атмосферу при температуре около 400 К, унося с собой часть исходной энергии. Поэтому во внутреннюю энергию водяного пара перейдет только 95% исходной энергии.
Полученный водяной пар поступит в паровую турбину, где его внутренняя энергия вначале частично превратится в кинетическую энергию струн пара, которая затем будет отдана в виде механической энергии ротору турбины.
Только часть энергии пара может быть превращена в механическую энергию. Остальная часть отдается охлаждающей воде при конденсации пара в конденсаторе. В нашем примере мы приняли, что энергия, переданная ротору турбины, составит около 38%, что примерно соответствует положению дел на современных электростанциях.
При преобразовании механической энергии в электрическую за счет так называемых джоулевых потерь в обмотках ротора и статора электрогенератора будет потеряно еще около 2% энергии. В результате в электрическую сеть поступит около 36% исходной энергии.
Электродвигатель превратит в механическую энергию вращения токарного станка только часть подведенной к нему электроэнергии. В нашем примере около 9% энергии в виде джоулевой теплоты в обмотках двигателя и теплоты трения в его подшипниках будет отдано в окружающую атмосферу.
Таким образом, к рабочим органам станка окажется подведенным только 27% исходной энергии. Но и на этом злоключения энергии не заканчиваются. Оказывается, что подавляющая часть энергии при механической обработке детали расходуется на трение и в виде теплоты отводится с жидкостью, охлаждающей деталь. Теоретически на то, чтобы из исходной заготовки получить нужную деталь, хватило бы лишь весьма малой доли (в нашем примере условно принято 2%) исходной энергии.
Рис. 1. Схема преобразований энергии при обработке детали на токарном станке: 1 - потеря энергии с уходящими газами, 2 - внутренняя энергия продуктов сгорания, 3 - внутренняя энергия рабочего тела - водяного пара, 4 - теплота, отдаваемая охлаждающей воде в конденсаторе турбины, 5 - механическая энергия ротора турбогенератора, 6 - потери в электрогенераторе, 7 - потерн в электроприводе станка, 8 - механическая энергия вращения станка, 9 - работа трения, превращающаяся в теплоту, отдаваемую жидкости, охлаждающей деталь, 10 - увеличение внутренней энергии детали и стружки после обработки.
Из рассмотренного примера, если его считать достаточно типичным, можно сделать по крайней мере три очень полезных вывода.
Во-первых, на каждой ступеньке преобразования энергии какая-то часть ее теряется . Это утверждение не следует понимать как нарушение закона сохранения энергии. Теряется она для того полезного эффекта, ради которого соответствующее преобразование осуществляется. Полное количество энергии после преобразования остается неизменным.
Если в некоторой машине или аппарате осуществляется процесс преобразования и передачи энергии, то эффективность этого устройства обычно характеризуют коэффициентом полезного действия (к. п. д.)
. Схема такого устройства показана на рис. 2.
Рис. 2. Схема для определения к. п. д. устройства, преобразующего энергию.
Пользуясь обозначениями, приведенными на рисунке, к. п. д. можно определить как кпд = Епол/ Епод
Ясно, что при этом на основании закона сохранения энергии должно быть Епод = Епол + Епот
Поэтому к. п. д. можно записать еще и так: кпд = 1 - (Епот/Епол)
Возвращаясь к примеру, изображенному на рис. 1, можно сказать, что к. п. д. котла равен 95%, к. п. д. преобразования внутренней энергии пара в механическую работу - 40%, к. п. д. электрогенератора - 95%, к. п. д. электропривода станка - 75% и к. п. д. собственно процесса обработки детали около 7%.
В прошлом, когда законы превращения энергии еще не были известны, мечтой людей было создание так называемого вечного двигателя - устройства, которое совершало бы полезную работу, не затрачивая никакой энергии. Такой гипотетический двигатель, существование которого нарушало бы закон сохранения энергии, сегодня называют вечным двигателем первого рода в отличие от вечного двигателя второго рода. Сегодня, разумеется, никто не принимает всерьез возможность создания вечного двигателя первого рода.
Во-вторых, все потери энергии в конечном итоге превращаются в теплоту, которая отдается либо атмосферному воздуху, либо воде естественных водоемов.
В-третьих, в конечном счете люди полезно используют лишь малую часть той первичной энергии, которая была затрачена для получения соответствующего полезного эффекта.
Это особенно очевидно при рассмотрении затрат энергии на транспорт. В идеализированной механике, не учитывающей сил трения, перемещение грузов в горизонтальной плоскости не требует затрат энергии.
В реальных условиях вся энергия, потребляемая транспортным средством, затрачивается на преодоление сил трения и сил сопротивления воздуха, т. е. в конечном счете вся энергия, потребляемая на транспорте, превращается в теплоту. В этом отношении любопытны следующие цифры, характеризующие работу перемещения 1 т груза на расстояние 1 км различными видами транспорта: самолет - 7,6 кВт-ч/(т-км), автомобиль - 0,51 кВт-ч/(т-км), поезд - 0,12 кВт-ч/(т-км).
Таким образом, один и тот же полезный эффект может быть достигнут при воздушном транспорте за счет в 60 раз больших затрат энергии, чем при железнодорожном. Конечно, большая затрата энергии дает существенную экономию во времени, но даже и при одинаковой скорости (автомобиль и поезд) затраты энергии различаются в 4 раза.
Этот пример говорит о том, что люди часто поступаются энергетической экономичностью ради достижения иных целей, например комфорта, скорости и т. п. Как правило, сама по себе энергетическая экономичность того или иного процесса нас мало интересует - важны суммарные технико-экономические оценки эффективности процессов. Но по мере удорожания первичных источников энергии энергетическая составляющая в технико-экономических оценках становится все более важной.